WisFaq!

Integraal

Een ogenschijnlijk simpele integraal als sqrt(a⁴-u²) du geeft als antwoord:

u/2·sqrt(a⁴-u²) + a⁴/2·arcsin(u/a²).

Ik heb de integraal gelijkgesteld aan cos² theta d(theta) met theta=arcsin(c/a) met c=sqrt(a²-b²). Maar het antwoord komt niet met bovenstaande overeen. Waar zie ik iets over het hoofd?
Gr

Herman
7-5-2017

Antwoord

Er gaat van alles mis: waar is $u$ gebleven? Wat is $b$? En je haalt zo te zien de sinus en cosinus door elkaar.
Teken een rechthoekige driehoek met hypothenuse $a^2$ en zijden $u$ (verticaal) en $\sqrt{a^4-u^2}$ (horizontaal).
Voor de hoek $\theta$ tussen de hypothenusa en de horizintale zijde geldt nu $\sin\theta=u/a^2$ en $\cos\theta=\sqrt{a^4-u^2}/a^2. Ofwel: $u=a^2\sin\theta$ en $\sqrt{a^4-u^2}=a^2\cos\theta$. Gevolg: je integraal wordt
$$
\int a^2\cos\theta\,\mathrm{d}(a^2\sin\theta)
$$
en dat leidt tot $a^4\int\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta$.
Als je die hebt uitgewerkt weer zorgvuldig invullen wat $\cos\theta$ en $\sin\theta$ zijn.

kphart
8-5-2017