De hoeveelheid schimmel op mijn kaas
De hoeveelheid schimmel S op mijn kaas neemt toe volgens
S(0)=2
dS/dt=3√t/S
Hoeveel is dan S(4), de hoeveelheid schimmel na 4 dagen?
a. 5 gram
b. 5,5 gram
c. 6 gram
d. 6,5 gram
Ik weet dat:
dS·S=dt·3√t
Dus:
$\int{}$(dS·S)=$\int{}$(dt·3√t)
Maar daar loop ik het spoor bijster...
Heeft u misschien een tip waardoor ik de opgave verder zou kunnen maken?
Sanne
Student universiteit - dinsdag 8 december 2015
Antwoord
Hallo Sanne,
Je bent zover gekomen dat je links van het is-gelijk-teken de primitieve moet zien te vinden van S en rechts van het is-gelijk-teken de primitieve van 3√t. Een primitieve (vaak aangeduid met: F) is een functie waarvan de afgeleide je oorspronkelijke functie is. Anders gezegd:
F(x) is een primitieve van f(x) als geldt: F'(x)=f(x)
Er bestaan handige lijstjes met primitieven van standaardfuncties, zoals deze formulekaart. Hierop zie je:
$\int{}$xndx = 1/(n+1)·xn+1
Dus:
$\int{}$S·dS = $\int{}$S1·dS = 1/2S2+C
Controle: wanneer je de afgeleide bepaalt van 1/2S2+C, dan krijg je inderdaad weer S. C is voorlopig een willekeurige constante. De waarde hiervan blijkt straks uit de randvoorwaarde dat S(0)=2.
$\int{}$ 3√x·dx staat niet in het lijstje van standaard integralen, maar gelukkig geldt:
$\int{}$ 3√x·dx = 3$\int{}$√x·dx
Deze integraal van √x staat wel in het lijstje.
Bepaal nu zelf de primitieve van √t·dt, vul de twee gevonden primitieven in je vergelijking in. De twee constanten mag je samenvoegen tot één nieuwe constante. Het resultaat is een vergelijking met daarin S, t en C.
Ik vind:
1/2S2 = 2t3/2 + C
Volgens de gegeven beginvoorwaarde is S=2 bij t=0, dus:
1/2·22 = 0 + C
dus: C=2
Nu kan je bij elke waarde van t de bijbehorende waarde van S uitrekenen.
Lukt het hiermee?
dinsdag 8 december 2015
©2001-2024 WisFaq
|