WisFaq!

De hoeveelheid schimmel op mijn kaas

De hoeveelheid schimmel S op mijn kaas neemt toe volgens
S(0)=2
^dS/_dt=^3√t/_S

Hoeveel is dan S(4), de hoeveelheid schimmel na 4 dagen?
a. 5 gram
b. 5,5 gram
c. 6 gram
d. 6,5 gram

Ik weet dat:
dS·S=dt·3√t

Dus:
$\int{}$(dS·S)=$\int{}$(dt·3√t)

Maar daar loop ik het spoor bijster...
Heeft u misschien een tip waardoor ik de opgave verder zou kunnen maken?

• Meer weten of zelf een vraag stellen

Sanne
8-12-2015

Antwoord

Hallo Sanne,

Je bent zover gekomen dat je links van het is-gelijk-teken de primitieve moet zien te vinden van S en rechts van het is-gelijk-teken de primitieve van 3√t. Een primitieve (vaak aangeduid met: F) is een functie waarvan de afgeleide je oorspronkelijke functie is. Anders gezegd:

F(x) is een primitieve van f(x) als geldt: F'(x)=f(x)

Er bestaan handige lijstjes met primitieven van standaardfuncties, zoals deze formulekaart. Hierop zie je:

$\int{}$xⁿdx = ¹/_(n+1)·xⁿ⁺¹
Dus:
$\int{}$S·dS = $\int{}$S¹·dS = ¹/₂S²+C

Controle: wanneer je de afgeleide bepaalt van ¹/₂S²+C, dan krijg je inderdaad weer S. C is voorlopig een willekeurige constante. De waarde hiervan blijkt straks uit de randvoorwaarde dat S(0)=2.

$\int{}$ 3√x·dx staat niet in het lijstje van standaard integralen, maar gelukkig geldt:
$\int{}$ 3√x·dx = 3$\int{}$√x·dx
Deze integraal van √x staat wel in het lijstje.

Bepaal nu zelf de primitieve van √t·dt, vul de twee gevonden primitieven in je vergelijking in. De twee constanten mag je samenvoegen tot één nieuwe constante. Het resultaat is een vergelijking met daarin S, t en C.

Ik vind:

¹/₂S² = 2t^3/2 + C

Volgens de gegeven beginvoorwaarde is S=2 bij t=0, dus:

¹/₂·2² = 0 + C
dus: C=2

Nu kan je bij elke waarde van t de bijbehorende waarde van S uitrekenen.

Lukt het hiermee?

GHvD
8-12-2015