Versnellingsvector en ellipsbaan

Hallo,
Ik ben bezig met het tekenen (in Geogebra) van de versnellingsvector bij een ellipsbaan. Ik heb als ellips (2sin(x),3cos(x)). Een van de brandpunten zit dus bij (0,sqrt(5)). Voor de versnellingsvector heb ik gekozen
(x"(t),y"(t)). Die laat ik aangrijpen in een punt op de baan. Ik had gedacht dat die versnellingsvector dan altijd naar het brandpunt zou wijzen (net zoals bij een ellipsvormige planeetbaan rondom de zon in het brandpunt). Maar de vector (x"(t),y"(t)) wijst altijd naar de oorsprong van het assenstelsel en niet naar het brandpunt. Ik maak dus een denkfout en/of haal dingen door elkaar. Welke vector wijst wel naar het brandpunt?Graag hulp.
Alvast bedankt,Jacob.

Jacob
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 19 november 2015

Antwoord

Hallo Jacob,

Jouw coördinaten (2sin(x),3cos(x)) geven wel de vorm van jouw ellips weer, maar dat wil nog niet zeggen dat de vergelijkingen x=2sin(t) en y=3cos(t) de juiste plaats op de ellips aangeven waar een punt P zich op tijdstip t bevindt. Er zijn immers vele mogelijke bewegingen over de ellipsvormige baan mogelijk. P kan bijvoorbeeld met een constante baansnelheid bewegen, of -net als planeten rond de zon- met toenemende snelheid wanneer de afstand tot de zon kleiner wordt en weer afnemende snelheid wanneer de planeet zich van de zon verwijdert. Bij deze verschillende bewegingen behoren uiteraard verschillende versnellingsvectoren, ook al is de baan hetzelfde.

Jij hebt aangenomen dat de x- en y-positie van een punt P worden beschreven met:

x=2sin(t) en y=3cos(t)

Dit is een combinatie van twee harmonische bewegingen, één in x-richting en één in y-richting. De bijbehorende versnellingsvector is inderdaad naar het middelpunt van de ellips gericht. Maar dit is niet de beweging die een planeet rond de zon maakt. Denk bijvoorbeeld aan de baansnelheid in de twee punten op de lange as van de ellips. Volgens jouw bewegingsvergelijkingen zouden de baansnelheden in deze twee punten gelijk zijn, terwijl de baansnelheid van een planeet in het ene punt minimaal is (op grote afstand van de zon) en in het andere punt maximaal.

De versnellingsvector bij een planeetbaan is inderdaad gericht naar de zon in één van de brandpunten. Als B dit brandpunt is, dan is (B-P) een vector in de richting van P naar B, dus: (x_B-x_P,y_B-y_P).
Deze vector heeft nog niet de juiste grootte. Wanneer je een vector op schaal wilt, bedenk dan dat de versnellingsvector omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand BP. Deel dus bovengenoemde vector door zijn lengte (je krijgt dan een eenheidsvector in de juiste richting) en deel door het kwadraat van de afstand BP. Vermenigvuldig tot slot met een geschikte constante om je vector een bruikbare lengte te geven.

donderdag 19 november 2015

Re: Versnellingsvector en ellipsbaan

©2001-2024 WisFaq