Complexe vergelijkingen oplossen
hallo,
ik kwam niet uit van de volgende vergelijkingen:
1) z4 = -16
2) z4 = -16i
3)z3 = -1
4) (z-1)4 = -i
ik begrijp eigenlijk de principe voor het oplossen van deze sommen niet, kunt u me aub uitleggen hoe ik de sommen aan moet pakken?
ik dank u bij voorbaat
Qais
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 9 februari 2003
Antwoord
Dag Qais,
Iets van de vorm z4 = t (zoals er drie van de vier opgaven zijn) kan je op twee manieren aanpakken: ofwel beschouw je het als een tweedegraadsvergelijking in de variabele z2, en dat kan je simpelweg uitwerken met de discriminant (dit kan je trouwens ook toepassen als er ook nog een term in z2 staat). Ofwel trek je tweemaal de wortel uit t.
De eerste techniek op de eerste opgave:
(z2)2 + 16 = 0, dus D = -64 = (±8i)2
Dus z2 = (0 ± 8i)/2 = ± 4i.
Hieruit moet je z halen als volgt: stel z = x + iy met x,y in  . Bekijk eerst z2 = 4i, dus (x + iy)2 = x2 - y2 + 2xyi = 4i, dus x2 - y2 = 0 en xy = 2, dus x=y= 2 of x=y=-2. En analoog voor z2 = -4i.
De tweede techniek, tweemaal worteltrekken dus op de vierde opgave, waarin we z-1 vervangen door u: (u2)2 = -i. Stel u2 = x+iy, stelseltje oplossen geeft twee oplossingen voor u2, stel dan voor die twee oplossingen telkens weer u = a+bi en los weer op, zo krijg je twee maal twee oplossingen voor u. Niet vergeten plus één te doen, en je hebt z.
Wat die derde oefening betreft: z3+1=0. Je ziet op het zicht dat -1 hiervan een oplossing is, deel dus z+1 weg, en er blijft over: z2-z+1, weerom een tweedegraadsvergelijking dus.
Succes met de uitwerking van de oefeningen,
Groeten,
Zie vraag 1708
Christophe
zondag 9 februari 2003
©2001-2024 WisFaq
|