WisFaq!

Complexe vergelijkingen oplossen

hallo,
ik kwam niet uit van de volgende vergelijkingen:
1) z⁴ = -16
2) z⁴ = -16i
3)z³ = -1
4) (z-1)⁴ = -i

ik begrijp eigenlijk de principe voor het oplossen van deze sommen niet, kunt u me aub uitleggen hoe ik de sommen aan moet pakken?
ik dank u bij voorbaat

Qais
9-2-2003

Antwoord

Dag Qais,

Iets van de vorm z⁴ = t (zoals er drie van de vier opgaven zijn) kan je op twee manieren aanpakken: ofwel beschouw je het als een tweedegraadsvergelijking in de variabele z², en dat kan je simpelweg uitwerken met de discriminant (dit kan je trouwens ook toepassen als er ook nog een term in z² staat). Ofwel trek je tweemaal de wortel uit t.

De eerste techniek op de eerste opgave:
(z²)² + 16 = 0, dus D = -64 = (±8i)²
Dus z² = (0 ± 8i)/2 = ± 4i.
Hieruit moet je z halen als volgt: stel z = x + iy met x,y in . Bekijk eerst z² = 4i, dus (x + iy)² = x² - y² + 2xyi = 4i, dus x² - y² = 0 en xy = 2, dus x=y=2 of x=y=-2. En analoog voor z² = -4i.

De tweede techniek, tweemaal worteltrekken dus op de vierde opgave, waarin we z-1 vervangen door u: (u²)² = -i. Stel u² = x+iy, stelseltje oplossen geeft twee oplossingen voor u², stel dan voor die twee oplossingen telkens weer u = a+bi en los weer op, zo krijg je twee maal twee oplossingen voor u. Niet vergeten plus één te doen, en je hebt z.

Wat die derde oefening betreft: z³+1=0. Je ziet op het zicht dat -1 hiervan een oplossing is, deel dus z+1 weg, en er blijft over: z²-z+1, weerom een tweedegraadsvergelijking dus.

Succes met de uitwerking van de oefeningen,
Groeten,

Zie vraag 1708 [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=1708]

Christophe
9-2-2003