Binomium van Newton
Beste wisfaq,
Voor wiskunde zijn wij nu bezig met een zeer moeilijk hoofdstuk. voor de volgende vraag moeten we het binomium van Newton toepassen, maar ik heb werkelijk geen idee hoe ik deze oefening moet oplossen:
Bepaal n$\in$N zodanig dat de termen met x2 en x4 gelijke coëfficienten hebben in (6x-√6)n.
Alvast bedankt
Philip
3de graad ASO - woensdag 12 februari 2014
Antwoord
Beste Philippe,
In dit geval is het denk ik gewoon het handigste om gewoon te proberen.
Snel is ontdekt dat n=4
Mocht je het echter met de eigenschappen van het binomium willen doen perse dan is onderstaande een methode. Die voor moeilijkere gevallen wellicht meer uitkomst kan bieden.
$$
\begin{array}{l}
(6x)^2 .( - \sqrt 6 )^{n - 2} .\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{2!(n - 2)!} \\
\end{array}} \right) = x^2 ( - \sqrt 6 )^{n + 2} \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{2!(n - 2)!} \\
\end{array}} \right) \\
(6x)^4 ( - \sqrt 6 )^{n - 4} .\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{4!(n - 4)!} \\
\end{array}} \right) = x^4 ( - \sqrt 6 )^{n + 4} \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{4!(n - 4)!} \\
\end{array}} \right) \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{2!(n - 2)!} \\
\end{array}} \right)( - \sqrt 6 )^{n + 2} = ( - \sqrt 6 )^{n + 4} \left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{4!(n - 4)!} \\
\end{array}} \right) \\
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{2!(n - 2)!} \\
\end{array}} \right) = 6\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n!} \\
{4!(n - 4)!} \\
\end{array}} \right) \\
4!(n - 4)! = 6.2!(n - 2)! \\
24.(n - 4)! = 12(n - 2)! \\
2 = \frac{{(n - 2)!}}{{(n - 4)!}} \Rightarrow 2 = (n - 2)(n - 3) \Rightarrow n = 4 \\
\\
\\
\end{array}
$$
mvg
DvL
woensdag 12 februari 2014
©2001-2024 WisFaq
|