Afstanden - incirkel van een driehoek

Het product van de afstanden van uit een variabel punt van de incirkel van een gegeven driehoek tot de zijden van die driehoek is gelijk aan het produkt van de afstanden tot de zijden van de driehoek gevormd door de raakpunten van de vorige incirkel met de oorspronkelijk driehoek. Toon dit aan.

Yves D
Docent - woensdag 31 oktober 2012

Antwoord

Het is een bekende eigenschap en ik zal proberen aan de hand van de beschrijving van mijn tekening een aanzet tot het bewijs te geven.

1)Teken (een scherphoekige) driehoek ABC (A boven, B rechtsonder) met zijn ingeschreven cirkel.
2) De raakpunten van cirkel en zijden noemen we P, Q en R (P op AB, Q op BC en R op AC). Teken ook driehoek PQR.
3) Neem een punt D op de cirkel (bij mij ligt het op boog PR)
4) Teken de afstanden DE, DF en DG tot resp. AB, BC en AC.
5) Teken de afstanden DH, DK en DL tot resp. PQ, RQ en PR.
6) Teken ten slotte DP, DR, LE en LG.

De vierhoeken DEPL en DGRL zijn koordenvierhoeken zodat geldt
$\angle$DLE = $\angle$DPE en $\angle$DGL = $\angle$DRL.
Omdat ook $\angle$DPE = $\angle$DRL hebben we dus $\angle$DLE = $\angle$DGL.

Volmaakt analoog: $\angle$DEL = $\angle$DLG.

De driehoeken DLE en DGL zijn dan gelijkvormig waaruit DL² = DE·DG

Zo ook DH² = DE·DF en DK² = DF·DG

Vermenigvuldiging van dit drietal levert direct het gezochte.

MBL
donderdag 1 november 2012

©2001-2024 WisFaq