Het product van de afstanden van uit een variabel punt van de incirkel van een gegeven driehoek tot de zijden van die driehoek is gelijk aan het produkt van de afstanden tot de zijden van de driehoek gevormd door de raakpunten van de vorige incirkel met de oorspronkelijk driehoek. Toon dit aan.Yves De Racker
31-10-2012
Het is een bekende eigenschap en ik zal proberen aan de hand van de beschrijving van mijn tekening een aanzet tot het bewijs te geven.
1)Teken (een scherphoekige) driehoek ABC (A boven, B rechtsonder) met zijn ingeschreven cirkel.
2) De raakpunten van cirkel en zijden noemen we P, Q en R (P op AB, Q op BC en R op AC). Teken ook driehoek PQR.
3) Neem een punt D op de cirkel (bij mij ligt het op boog PR)
4) Teken de afstanden DE, DF en DG tot resp. AB, BC en AC.
5) Teken de afstanden DH, DK en DL tot resp. PQ, RQ en PR.
6) Teken ten slotte DP, DR, LE en LG.
De vierhoeken DEPL en DGRL zijn koordenvierhoeken zodat geldt
$\angle$DLE = $\angle$DPE en $\angle$DGL = $\angle$DRL.
Omdat ook $\angle$DPE = $\angle$DRL hebben we dus $\angle$DLE = $\angle$DGL.
Volmaakt analoog: $\angle$DEL = $\angle$DLG.
De driehoeken DLE en DGL zijn dan gelijkvormig waaruit DL2 = DE·DG
Zo ook DH2 = DE·DF en DK2 = DF·DG
Vermenigvuldiging van dit drietal levert direct het gezochte.
MBL
1-11-2012
#68795 - Vlakkemeetkunde - Docent