Riemann-som

We zijn op school net begonnen met integreren. Nu is mijn vraag waarvoor bijvoorbeeld k=1 of k=0 onder het sigma-teken staat in de Riemann-som?

Hannah
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 24 december 2010

Antwoord

Beste Hannah,

De aanduiding onder het sigma-teken betekent dat je de variabele achter het sigma-teken k noemt, en dat de eerst aangenomen waarde 1 respectievelijk 0 is en dat je daarna automatisch met één ophoogt totdat het aantal dat boven het sigma-teken staat wordt aangenomen. In feite dient de variabele als een 'lopertje'.
Een voorbeeld om het geheel te concretiseren. Stel dat je de oppervlakte onder de grafiek van de functie f(x) = x² op het interval [0,10] wil benaderen m.b.v. een Riemann-som waarbij je de rechtergrens van de deelintervallen neemt.
Eerst bepaal je hoeveel rechthoeken wil je gebruiken op het interval [0,10] zodat je de breedte per rechthoekje kan bepalen. Om het eenvoudig te houden, laten we 10 rechthoekjes gebruiken, dus ieder rechthoekje heeft breedte 1.
De rechtergrens is dan x = 1, x = 2, ..., x = 10. En de bijbehorende functiewaarden (de hoogtes van de rechthoekjes dus) zijn dan f(1), f(2), ..., f(10) = 1, 4, ..., 100.
De benaderde oppervlakte onder de functie is dan breedte van eerste rechthoek · functiewaarde eerste rechthoek + breedte van tweede rechthoek · functiewaarde tweede rechthoek ... + breedte tiende rechthoek · functiewaarde tiende rechthoek.
Nu is dit voor 10 rechthoeken nog wel makkelijk uit te schrijven, maar je kunt je voorstellen dat dit voor 100'den, 1000'den e.d. niet meer te verwezenlijken valt. Daar komt nog eens bij dat de exacte oppervlakte wordt aangenomen als je de breedtes naar 0 laat gaan (ofwel oneindig veel rechthoekjes neemt). Hiervoor hebben ze dus de volgende notatie bedacht:
$\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{10} \underbrace{f(k)} _{{{\mathrm{hoogte \quad van \quad rechthoek}}}} \cdot \overbrace{1}^{\mathrm{breedte \quad van \quad rechthoek}}$
Je vult als eerste $k = 1$ in, dan krijg je $f(1) \cdot 1$ dit komt overeen met de hoogte van de rechthoek bij de rechtergrens $x = 1$ vermenigvuldigd met de breedte van de rechthoek, zijnde 1. Daarna hoog je $k$ met 1 op, krijg je $f(2) \cdot 1$. Dit tel je op bij het voorgaande, dus $f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1$, dan hoog je $k$ weer met 1 op enzovoorts totdat je de bovengrens van $k = 10$ hebt bereikt (dit staat immers boven het sommatie-teken).
Uiteindelijk heb je dus $f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1 + f(3) \cdot 1 + f(4) \cdot 1 + f(5) \cdot 1 + f(6) \cdot 1 + f(7) \cdot 1 + f(8) \cdot 1 + f(9) \cdot 1 + f(10) \cdot 1$ = $1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 9 \cdot 1 + 16 \cdot 1 + 25 \cdot 1 + 36 \cdot 1 + 49 \cdot 1 + 64 \cdot 1 + 81 \cdot 1 + 100 \cdot 1 = 385$. Uiteraard had je hier een factor buiten haakjes kunnen zetten (of overal "$\cdot 1$" weglaten), om de berekening te vereenvoudigen, maar het gaat erom dat je inziet hoe verkorte schrijfwijze m.b.v. het sigma-teken werkt en dat je inziet hoe efficiënt zo'n schrijfwijze is!

Op http://mathworld.wolfram.com/RiemannSum.html kun je nog meer experimenteren met Riemann sommen.

Mocht je nog vragen hebben, reageer gerust!

zaterdag 25 december 2010

Re: Riemann-som

©2001-2024 WisFaq