Vraagje over goniometrische functie
hallo,
ik had een vraagje over een voorbeeld die ik tegen kwam in dit website over het intergaal van een goniometrische functie:
de functie :
òsin(x).cos(x)dx= òsin(x)d (sin(x))=ò= 1/2sin2(x).
Mijn vraag is nu, waarom werd alleen maar één sin(x) geprimitiveerd?.
En ik had nog een vraagje:
een functie: 3cos(x)/(2+sin(x)). Ik moest primitiveren, kwam dit uit: 3cos(x) Ln(2+sin(x)) Maar in mijn antwoordenboek stond: 3Ln(2+sin(x))
Maar ik snap het niet echt, hoe is het precies gedaan?
alvast bedankt gr.
anna
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 4 april 2010
Antwoord
1) Er wordt hier gebruik gemaakt van de zogeheten substitutiemethode. Als je sin(x) = t stelt, dan is cos(x)dx = dt en daarmee wordt de gegeven integraal ineens een stuk simpeler, namelijk òt.dt. Deze integraal leidt tot de primitieve 1/2t2 en door t weer te vervangen door sin(x), krijg je het resultaat F(x) = 1/2sin2(x). Het kan ook anders: je kent de formule sin(2x) = 2sin(x)cos(x). De functie die je integreren moet is dan dezelfde als f(x) = 1/2sin(2x) en dús is de primitieve direct gevonden: F(x) = -1/4cos(2x). Probeer eens te laten zien dat de twee primitieven die je nu hebt in feite dezelfde zijn.
2) Als je nu t = 2 + sin(x) stelt, dan volgt daaruit dt = cos(x)dx en dús 3cos(x)dx = 3dt. De gegeven integraal wordt daarmee ò3/tdt met als primitieve 3ln|t| en dus 3ln|2+sin(x)| De modulusstrepen kun je hier overigens achterwege laten, want 2 + sin(x) is voor elke x tóch positief.
MBL
zondag 4 april 2010
©2001-2024 WisFaq
|