WisFaq!

Vraagje over goniometrische functie

hallo,

ik had een vraagje over een voorbeeld die ik tegen kwam in dit website over het intergaal van een goniometrische functie:

de functie :

òsin(x).cos(x)dx= òsin(x)d (sin(x))=ò= ¹/₂sin²(x).

Mijn vraag is nu, waarom werd alleen maar één sin(x) geprimitiveerd?.

En ik had nog een vraagje:

een functie: 3cos(x)/(2+sin(x)).
Ik moest primitiveren, kwam dit uit: 3cos(x) Ln(2+sin(x))
Maar in mijn antwoordenboek stond: 3Ln(2+sin(x))

Maar ik snap het niet echt, hoe is het precies gedaan?

alvast bedankt
gr.

anna
4-4-2010

Antwoord

1) Er wordt hier gebruik gemaakt van de zogeheten substitutiemethode. Als je sin(x) = t stelt, dan is cos(x)dx = dt en daarmee wordt de gegeven integraal ineens een stuk simpeler, namelijk òt.dt.
Deze integraal leidt tot de primitieve ¹/₂t² en door t weer te vervangen door sin(x), krijg je het resultaat F(x) = ¹/₂sin²(x).
Het kan ook anders: je kent de formule sin(2x) = 2sin(x)cos(x). De functie die je integreren moet is dan dezelfde als f(x) = ¹/₂sin(2x) en dús is de primitieve direct gevonden: F(x) = -¹/₄cos(2x).
Probeer eens te laten zien dat de twee primitieven die je nu hebt in feite dezelfde zijn.

2) Als je nu t = 2 + sin(x) stelt, dan volgt daaruit dt = cos(x)dx en dús 3cos(x)dx = 3dt.
De gegeven integraal wordt daarmee ò³/_tdt met als primitieve 3ln|t| en dus 3ln|2+sin(x)|
De modulusstrepen kun je hier overigens achterwege laten, want 2 + sin(x) is voor elke x tóch positief.

MBL
4-4-2010