Richtingscoëfficiënten en raaklijnen
Ik ben zojuist een aantal vragen tegengekomen die ik op geen manier opgelost krijg.
Vraag over richtingscoëfficiënt:
De rc van de raaklijn aan de grafiek van y(x)=x2+3x+4 in punt (x0, y(x0)) is gelijk aan de rc van de lijn door de punten (0,4) en (2,14). Bepaal x0.
Ik heb geen idee hoe ik dit op moet lossen. Ik dacht dmv een vergelijking op te stellen van de raaklijn k:y(x)=ax+b, a=Dy/Dx=(14-4)/(2-0)=5. Dus k:y(x)=5x+b. Maar verder kom ik niet. Kan iemand mij helpen? Het juiste antwoord zou overigens x0=1 moeten zijn.
En dan heb ik nog een andere vraag, die ik ook niet opgelost krijg:
Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek y(x)= 2x2+2 die de x-as snijden in het punt x=1. Iemand een idee hoe dit op te lossen is? Het antwoord zou y=4(1- Ö2)x-4(1- Ö2) en y=4(1+ Ö2)x-4(1+ Ö2) moeten zijn.
Dankuwel!
Floren
Student hbo - donderdag 10 september 2009
Antwoord
Je kunt beide vragen m.b.v. differentieren oplossen, maar omdat ik niet weet of je dat al hebt gehad doe ik het zonder.
Vraag 1:
Snijdt de grafiek van y(x) met de lijn y(x)=5x+b:
x2+3x+4=5x+b.
Herleiden op 0:
x2-2x+4-b=0;
De discriminant van deze vierkantsvergelijking is (-2)2-4(4-b)=4-16+4b=-12+4b.
Er is 1 "snijpunt" als de discriminant gelijk is aan 0, dus als -12+4b=0.
Dit is zo als b=3.
Dit levert de vergelijking:
x2-2x+4-3=0
Dus x2-2x+1=0 De oplossing van deze vergelijking is x=1.
Vraag 2.
y(x)=2x2+2.
De raaklijnen moeten door het punt (1,0) gaan.
Snap je dat de lijnen door (1,0) vergelijking y=ax-a hebben?
(immers voor x=1 wordt y=a·1-a=0)
Snijdt nu de parabool y(x)=2x2+2 met de lijn y=ax-a
Je krijgt de vierkantsvergelijking:
2x2+2=ax+a
Herleiden op 0:
2x2-ax+2-a=0.
Discriminant:
(-a)2-4·2·(2-a)=a2-16+8a=a2+8a-16.
Wil je een raaklijn hebben dan moet deze discriminant gelijk zijn aan 0.
Dus los op
a2+8a-16=0.
Als het goed is vind je dan a=4-4Ö2=4(1-Ö2) en a=4(1+Ö2)
Invullen in y=ax-a en je bent klaar.
donderdag 10 september 2009
©2001-2024 WisFaq
|