WisFaq!

Richtingscoëfficiënten en raaklijnen

Ik ben zojuist een aantal vragen tegengekomen die ik op geen manier opgelost krijg.

Vraag over richtingscoëfficiënt:
De rc van de raaklijn aan de grafiek van y(x)=x²+3x+4 in punt (x₀, y(x₀)) is gelijk aan de rc van de lijn door de punten (0,4) en (2,14). Bepaal x₀.

Ik heb geen idee hoe ik dit op moet lossen. Ik dacht dmv een vergelijking op te stellen van de raaklijn k:y(x)=ax+b, a=Dy/Dx=(14-4)/(2-0)=5. Dus k:y(x)=5x+b. Maar verder kom ik niet. Kan iemand mij helpen? Het juiste antwoord zou overigens x₀=1 moeten zijn.

En dan heb ik nog een andere vraag, die ik ook niet opgelost krijg:
Bepaal de vergelijkingen van de raaklijnen aan de grafiek y(x)= 2x²+2 die de x-as snijden in het punt x=1. Iemand een idee hoe dit op te lossen is? Het antwoord zou y=4(1- Ö2)x-4(1- Ö2) en y=4(1+ Ö2)x-4(1+ Ö2) moeten zijn.

Dankuwel!

Florentine
10-9-2009

Antwoord

Je kunt beide vragen m.b.v. differentieren oplossen, maar omdat ik niet weet of je dat al hebt gehad doe ik het zonder.
Vraag 1:
Snijdt de grafiek van y(x) met de lijn y(x)=5x+b:

x²+3x+4=5x+b.
Herleiden op 0:
x²-2x+4-b=0;
De discriminant van deze vierkantsvergelijking is (-2)²-4(4-b)=4-16+4b=-12+4b.
Er is 1 "snijpunt" als de discriminant gelijk is aan 0, dus als -12+4b=0.
Dit is zo als b=3.
Dit levert de vergelijking:
x²-2x+4-3=0
Dus x²-2x+1=0 De oplossing van deze vergelijking is x=1.

Vraag 2.
y(x)=2x²+2.
De raaklijnen moeten door het punt (1,0) gaan.
Snap je dat de lijnen door (1,0) vergelijking y=ax-a hebben?
(immers voor x=1 wordt y=a·1-a=0)
Snijdt nu de parabool y(x)=2x²+2 met de lijn y=ax-a
Je krijgt de vierkantsvergelijking:
2x²+2=ax+a
Herleiden op 0:
2x²-ax+2-a=0.
Discriminant:
(-a)²-4·2·(2-a)=a²-16+8a=a²+8a-16.
Wil je een raaklijn hebben dan moet deze discriminant gelijk zijn aan 0.
Dus los op
a²+8a-16=0.
Als het goed is vind je dan a=4-4Ö2=4(1-Ö2) en a=4(1+Ö2)
Invullen in y=ax-a en je bent klaar.

hk
10-9-2009