\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Integraal van 1/(1-x²) bepalen

Ik kom er maar niet uit maar hoe integreer ik het volgende:

Intgraal van 1 / (1 - x2)

Jerom
Student universiteit - vrijdag 21 augustus 2009

Antwoord

Beste Jerom,

Eerst en vooral moet je in de onderstaande uitwerkingen overal '+ c' bij de primitieve bedenken.

Methode 1: substitutie
Herschrijf de integraal eerst als ∫(1+x-x)/(1-x2)dx.
Na splitsing staat er ∫(1+x)/(1-x2)dx - ∫x/(1-x2)dx.
Gebruikmakend van de regel a2 - b2 = (a-b)(a+b) bekomen we:
∫(1+x)/(1-x)(1+x)dx - ∫x/(1-x)(1+x)dx.

Laten we ons op de eerste integraal concentreren. Deze lossen we m.b.v. substitutie op. Laat u(x) = 1 + x, dan is du = dx, en 1 - x = -u + 2. De eerste integraal wordt dan ∫u/(-u+2)·udu oftewel ∫1/(-u+2)du = -ln|2-u|, vervolgens u terugsubstitueren levert -ln|2-(1+x)| = -ln|1-x| = ln|1/1-x|.

Nu gaan we ∫x/(1-x)(1+x)dx = ∫x/(1-x2)dx oplossen. Zij u(x) = 1-x2, dan is du/dx = -2x en -1/2du = xdx, zodat de integraal na substitutie overgaat in ∫-1/2du/u = -1/2ln|u| wat na terugsubstitueren de primitieve -1/2ln|1-x2| = -1/2ln|(1-x)(1+x)| oplevert.

Gecombineerd hebben we dus:

ln|1/1-x| - (-1/2ln|(1-x)(1+x)|) = ln|1/1-x| + 1/2ln|(1-x)(1+x)|.
ln|1/1-x| + ln|[(1-x)(1+x)]½|
= ln|1/1-x| + ln|√[(1-x)(1+x)]|
= ln|(1/1-x)·(√[(1-x)(1+x)])|
= ln|(√(1-x)·√(1+x))/(1-x)|
= ln|√(1+x)/√(1-x)|
= ln|√(1+x/1-x)|
= tanh-1(x)

Methode 2: breuksplitsen
Om ∫1/(1-x2)dx m.b.v. breuksplitsen te bepalen schrijf je de noemer eerst als (1-x)(1+x).

Nu zouden we 1/(1-x)(1+x) willen schrijven als A/(1-x) + B/(1+x), want de primitieve van de termen is makkelijker te bepalen.
Hiervoor is het noodzakelijk om A en B te weten te komen. Daarvoor moeten we eerst een gemeenschappelijke noemer vinden, dat is (1-x)(1+x). Dus A(1+x)/(1-x)(1+x) + B(1-x)/(1-x)(1+x).
Uitwerken en op één breuk schrijven levert A+B+(A-B)x/(1-x)(1+x) op. Als je dit vergelijkt met 'wat het zou moeten worden' (namelijk 1/(1-x)(1+x)) dan zou A + B = 1 en A - B = 0. Dit stelsel oplossen levert A = B = ½ op. Dus ∫1/(1-x2)dx = ∫ A/(1-x)dx + ∫ B/(1+x)dx = ∫ ½/(1-x)dx + ∫ ½/(1+x)dx
= ½∫ 1/(1-x)dx + ½∫ 1/(1+x)dx
= -½·ln|1-x| + ½·ln|1+x|
= ln|1/√(1-x)| + ln|√(1+x)|
=  ln|√(1+x/1-x)|
= tanh-1(x).

Mochten er nog vragen zijn, reageer gerust.

Gr. Davy.


vrijdag 21 augustus 2009

 Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen 
Re: Integraal van 1/(1-x²) bepalen

©2001-2024 WisFaq