Pv van bol en cilinder

ik moet in mijn PO de pv van een cilinder en een bol afleiden. respectievelijk: x=r cos t y=r sin t z=u, en
x=r cos t cos u y=r sin t cos u z=r sin u
alleen heb ik geen idee waar ik mijn begin moet maken met het afleiden van deze pv's.

oh en wat zijn loxodromen?

bij voorbaat dank,
groetjes stach

Stach
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 9 december 2002

Antwoord

Ik weet niet precies wat je met pv bedoelt, afko's gaarne voluit schrijven. Ik zal een gooi doen naar wat je nodig hebt:

cilinder:
x=r.cost; y=r.sint; z=u

je ziet ten eerste dat z geen relatie heeft met x en y

ten tweede: vergelijkingen van dit soort lichamen (beschreven met sinussen en cosinussen) kun je al snel "tackelen" door alles te kwadrateren:
x²=r²cos²t; y²=r²sin²t; z²=u²

dus moet ook gelden dat
x²+y² gelijk is aan r²(cos²t+sin²t)=r².1=r²
ofwel:
x²+y²=r² met r de straal
Dit komt je misschien bekend voor als de vergelijking van een cirkel met middelpunt (0,0)
De z komt niet in deze vergelijking voor. Kennelijk geldt deze gelijkheid voor alle denkbare z-coordinaten, en dat is ook wat je je wel kunt voorstellen bij een oneindig lange cilinder.

Bol:
x=r.cost.cosu; y=r.sint.cosu; z=r.sinu
Hier zie je dat vanwege de u's en de t's,
de x, y, en z coordinaten wel onderling van elkaar afhangen.
Wederom alles kwadrateren:
x²=r²cos²t.cos²u
y²=r²sin²t.cos²u
z²=r²sin²u

nu geldt dat x²+y²=r²cos²t.cos²u+r²sin²t.cos²uÛ
x²+y²=r²cos²u(cos²t+sin²t)=r²cos²u.1=r²cos²u

en dus is
(x²+y²)+z²=r²cos²u+r²sin²u = r².1=r²

zodoende geldt voor een bol:
x²+y²+z²=r² met r de straal

groeten,
martijn

mg
woensdag 11 december 2002

©2001-2024 WisFaq