Exacte oplossing geven
Beste,
Ik heb een voorbeeld in mijn praktische opdracht genomen om te laten zien dat de Newton-Raphson methode niet altijd werkt, het voorbeeld laat zien dat als het gevonden nulpunt van de raaklijn op een perforatie ligt, je niet verder komt. Ik heb deze functie genomen:
(x3 - 64)/(x - 4)
De afgeleide berekend en de volgende vergelijking met mijn GR opgelost:
(-f(x)-f'(x)*x)/(f'(x)) = 4
x  10,93
Raaklijn is y = 25,86x - 103,46
Nu is mijn vraag ... wat is de exacte uitkomst van x waar dus een raaklijn uit komt die de x-as precies in x = 4 snijdt. Deze oplossing is ongeveer goed, maar ik denk dat mijn leraar daar wat minder blij mee is.
Alvast bedankt,
Peter
Peter
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 18 juni 2008
Antwoord
Het wordt allemaal een stuk eenvoudiger als je die f(x) even herschrijft voor het geval x ongelijk aan 4.
Dan kun je immers een factor x-4 uit x3-64 uitdelen:
x3-64=(x-4)(x2+ax+b)=
x3+ax2+bx-4x2-4ax-4b=
x3+(a-4)x2+(b-4a)x-4b
Dit moet hetzelfde zijn als x3-4, dus je krijgt het stelsel:
a-4=0
b-4a=0
-4b=-64
Uit -4b=-64 volgt b=16.
Uit a-4=0 volgt a=4
Deze twee waarden contoleren in b-4a=0 levert 16-16=0 en dat klopt.
Voor x ongelijk aan 4 kun je f(x) dus vervangen door g(x)=x2+4x+16 met
g'(x)=2x+4
Oplossen van x-g(x)/g '(x)=4 levert dan
x-(x2+4x+16)/(2x+4)=4 en dus
x(2x+4)-(x2+4x+16)=4(2x+4) en dat is een gewone tweedegraads vergelijking.
Lukt het dan verder?
woensdag 18 juni 2008
©2001-2024 WisFaq
|