WisFaq!

Exacte oplossing geven

Beste,

Ik heb een voorbeeld in mijn praktische opdracht genomen om te laten zien dat de Newton-Raphson methode niet altijd werkt, het voorbeeld laat zien dat als het gevonden nulpunt van de raaklijn op een perforatie ligt, je niet verder komt. Ik heb deze functie genomen:

^{(x3 - 64)}/_{(x - 4)}

De afgeleide berekend en de volgende vergelijking met mijn GR opgelost:

^{(-f(x)-f'(x)*x)}/_(f'(x)) = 4
x 10,93

Raaklijn is y = 25,86x - 103,46

Nu is mijn vraag ... wat is de exacte uitkomst van x waar dus een raaklijn uit komt die de x-as precies in x = 4 snijdt. Deze oplossing is ongeveer goed, maar ik denk dat mijn leraar daar wat minder blij mee is.

Alvast bedankt,

Peter

Peter
18-6-2008

Antwoord

Het wordt allemaal een stuk eenvoudiger als je die f(x) even herschrijft voor het geval x ongelijk aan 4.
Dan kun je immers een factor x-4 uit x³-64 uitdelen:
x³-64=(x-4)(x²+ax+b)=
x³+ax²+bx-4x²-4ax-4b=
x³+(a-4)x²+(b-4a)x-4b
Dit moet hetzelfde zijn als x³-4, dus je krijgt het stelsel:
a-4=0
b-4a=0
-4b=-64

Uit -4b=-64 volgt b=16.
Uit a-4=0 volgt a=4
Deze twee waarden contoleren in b-4a=0 levert 16-16=0 en dat klopt.

Voor x ongelijk aan 4 kun je f(x) dus vervangen door g(x)=x²+4x+16 met
g'(x)=2x+4
Oplossen van x-g(x)/g '(x)=4 levert dan
x-(x²+4x+16)/(2x+4)=4 en dus
x(2x+4)-(x²+4x+16)=4(2x+4) en dat is een gewone tweedegraads vergelijking.

Lukt het dan verder?

hk
18-6-2008