Regelmatige veelvlakken

Bij regelmatige veelvlakken geldt dat het aantal hoekpunten H voldoet aan

H=720°/(360°-åa)

waarin åa de som is van de hoeken a van de regelmatige n-hoeken die in een hoekpunt samenkomen

voorbeeld: als in een punt 2 vierkanten en 2 regelmatige driehoeken samenkomen dan geldt:

åa=2x90°+2x60°=300°

met 360°-åa bereken je dus de ruimte die nog over is, in dit geval 60°
720/60=12 dus het aantal hoekpunten van dit lichaam is 12

Mijn vraag is nu: wat is het bewijs dat de formule H=720°/(360°-åa) klopt?

Ik heb dit nodig voor het bewijs dat er maar 13 half-regelmatige veelvlakken zijn. Een ander bewijs zou ook welkom zijn.

Patric
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 25 november 2002

Antwoord

Als er bij een veelvlak met H hoekpunten, Z zijvlakken en R ribben in elk hoekpunt m stuks n-hoeken samenkomen, dan is het aantal vlakke hoeken gelijk aan Z x n en tegelijkertijd ook gelijk aan H x m.
Nu is weliswaar elke ribbe dubbel geteld, want elke ribbe maakt deel uit van 2 vlakke hoeken.
Dus krijgen we: Z.n = H.m = 2.R

Nu gebruik je de de stelling van Euler: Z + H = R + 2

Als je deze relaties combineert, dan kun je daaruit o.a. afleiden dat H = 2n/(n + m - ¹/₂mn)

Nu komt het zogenaamde hoekdefect om de hoek kijken. Defect betekent overigens niet zoiets als "kapot", maar "tekort".

Onder het tekort verstaat men de hoeveelheid graden die men tekort komt om een plat vlak te krijgen, dus om de 360° vol te maken.

Je krijgt: 360° - 180°. m.(n-2)/n en dat is te herleiden tot 720° . (n + m - ¹/₂mn)/2n oftewel 720° / H

Hieruit kun je nu aflezen dat de optelsom van alle hoektekorten 720° is en je kunt er ook nog het aantal hoekpunten van het veelvlak mee bepalen, zoals je het in je eigen voorbeeld gedaan hebt.

Het is waarschijnlijk het handigst wanneer je bovenstaande tekst afloopt, om met bijv. een kubus of een plaatje van een of ander regelmatig veelvlak voor je neus te controleren wat er precies gezegd wordt.

MBL
dinsdag 26 november 2002

Re: Regelmatige veelvlakken

©2001-2024 WisFaq