Hogere orde partiele afgeleiden

Dit zal moeilijk zijn om via de computer uit te leggen maar toch.

Een functie f: R©ø$\to$R heeft continue partiele afgeleiden minstens tot 2de orde.
g: R²$\to$ R (x,y) $\to$ g(x,y)= f(x²y,x+y,xe^^3y)

we stellen h : R2 /æ R3 : (x,y)/æ h(x,y) = (x²y, x+y,xe^^3y)

dan is
D²₁₁g(x,y)=
2y D₁f(h(x,y)) + D²₁₁f(h(x,y))· 4x²y²
+ D²₂₂f(h(x,y))
+ e^6y· D²₃₃f(h(x,y))
+ 4xy · D²₁₂ f(h(x,y))
+ 4xy e^3y· D²₁₃f(h(x,y))
+ 2 e^3y · D²₂₃f(h(x,y))

Nu dit is de correcte oplossing. Maar ik weet niet hoe dat ik daar stapsgewijs aangeraak! Ik weet dat het veel typwerk is maar zou iemand mij dat kunnen uitleggen door aan te tonen wat bij elkaar hoort en vanwaar komt. Gewone partiele afgeleiden lukt mij wel, maar met die hogere orde zit ik echt vast! Ik weet dat ik met de productregel voor afgeleiden moet werken.

D_1/g(x,y) = D₁(f/Æh)'(x,y)
= D₁f (x²y, x+y, xe^3y) · 2xy
+ D₂f(h(x,y))· 1
+ D₃f f(h(x,y))· e^3y

Dit heb ik met moeite berekent dus dat principe begrijp ik min of meer.

Nu weet ik dat ik daar weer de 1ste;2de; 3de afgeleide van moet nemen. En dan bekom ik voor de eerste term: D₁f (x²y, x+y, xe^3y) · 2xy dit uit:

2y · D1 f(h(x,y))+ [D1 D1f(h(x,y))· 2xy + D2 D1f(h(x,y))· 1
+ D3 D1f(h(x,y))· e^3y] · 2xy

Enzo verder maar ik weet niet goed waar ik mee bezig ben. Ik heb dit helemaal uitgewerkt, maar ik kan dit hier niet inscannen. Ik hoop dat het wat duidelijk is getypt want dit is moeilijk via de pc. Ik hoop dat er iemand is die de moeite wil doen om mij te helpen,en iets uitgebreider te tonen wat de stappen precies zijn want jullie zijn mijn laatste hoop. Ik heb daar namelijk examen van.

vicky
Student universiteit België - zondag 13 januari 2008

Antwoord

Dag Vicky,

Het is inderdaad niet zo goed overgekomen, al die symbooltjes... Maar ik vermoed dat dit dus de opgave was:
h(x,y)=(x²y,x+y,xe^3y)
en g(x,y)=f(h(x,y)).

Om een tweede orde partiële afgeleide te berekenen: bereken (zoals je aangaf) eerst tot de eerste orde. Voor D₁₁g(x,y) moet je twee keer naar de eerste variabele van g afleiden, dus twee keer naar x. De eerste afgeleide van g naar die x noteren we met D₁g(x,y), dus laten we die eerst al eens berekenen:

We hebben g(x,y) gelijkgesteld aan een functie f in drie variabelen. Wegens de kettingregel is de afgeleide van g naar x, dan gelijk aan
de afgeleide van f naar zijn eerste variabele maal de afgeleide van die eerste variabele,
plus de afgeleide van f naar zijn tweede variabele maal de afgeleide van die tweede variabele,
plus de afgeleide van f naar zijn derde variabele maal de afgeleide van die derde variabele.

Dus
D₁g(x,y)
= D₁f(x²y,x+y,xe^3y) * 2xy
+ D₂f(x²y,x+y,xe^3y) * 1
+ D₃f(x²y,x+y,xe^3y) * e^3y

Je hebt nu speciaal die functie h ingevoerd, dus we kunnen die gebruiken om de notatie wat te verlichten, dit is dus hetzelfde als
D₁g(x,y)
= D₁f(h(x,y)) * 2xy
+ D₂f(h(x,y)) * 1
+ D₃f(h(x,y)) * e^3y

Goed, dit moeten we dus nog eens afleiden naar x. De uitdrukking die we moeten afleiden, is een som van drie termen, dus we hebben van elke term de afgeleide nodig, naar x. Nu, de eerste term is een product van twee factoren die elk van x afhangen, namelijk enerzijds D₁f(h(x,y)) en anderzijds 2xy, dus daarvoor hebben we de productregel nodig. De tweede term is gewoon één factor, de derde term is ook een product, maar dit keer van enerzijds een functie van x, namelijk D₃f(h(x,y)), en anderzijds een 'constante in x', namelijk e^3y.

Dus we krijgen als resultaat:
D₁₁g(x,y)
= D₁f(h(x,y)) * 2y (dat is één stuk van de productregel)
+ 2xy *
(D₁₁f(h(x,y)) * 2xy
+ D₁₂f(h(x,y)) * 1
+ D₁₃f(h(x,y)) * e^3y) (dat is het andere stuk van de productregel)
+ D₂₁f(h(x,y)) * 2xy
+ D₂₂f(h(x,y)) * 1
+ D₂₃f(h(x,y)) * e^3y (dit alles komt van de tweede term)
+ e^3y *
(D₃₁f(h(x,y)) * 2xy
+ D₃₂f(h(x,y)) * 1
+ D₃₃f(h(x,y)) * e^3y) (dit alles komt van de derde term)

Het cruciale feit waar je hier rekening mee moet houden, is dus dat een uitdrukking als bijvoorbeeld D₂f(h(x,y)), nog steeds, net als f(h(x,y)), een functie is in drie argumenten die alledrie van x afhangen. En dus, als je D₂f(h(x,y)) wil afleiden naar x, krijg je wegens de kettingregel drie termen.

Tot slot kan je natuurlijk nog een paar termen samennemen: omdat f continue partiële afgeleiden tot op tweede orde heeft, geldt dat D_ijf = D_jif en zo krijg je zeven ipv tien termen.

Succes met je examen...

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 14 januari 2008

Re: Hogere orde partiele afgeleiden

©2001-2024 WisFaq