Convergentie van u(n)=e^1-(u(n-1))²

Gegeven is f(x)=exp(1-x²)
Verder is gegeven u[n]=f(u[n-1]) en u[0]=c
Als dekpunt vind je x=1
M.b.v. de convergentiestelling of gewoonweg het vlindertje door het dekpunt kun je zien dat de reeks u[n] niet convergeert naar het dekpunt. Tenzij je voor u[0] de waarde 1 kiest. Niet echt convergent, gewoon een constante rij. f(x)=1 oplossen leert dat ook voor x=-1 een c onstante rij volgt.

Echter...voer ik als beginwaarde u[0]=0.1 in dan gebeurt toch iets vreemds...
Het lijkt alsof er een periodieke rij met periode 2 ontstaat. Vanaf u[5] zijn de termen afwisselend 2,718274157 en 0,001679911118. Zeker als je naar u[1] en u[2] kijkt dan lijkt het alsof er toch convergentie gaat plaatsvinden... Echter...dat periodieke rijtje lijkt niet echt op iets dat convergeert of divergeert.
Wie kan me dit verklaren?

Nadine
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 14 november 2007

Antwoord

Dit is een hele leuke vraag!
In feite krijg je die periodieke rij met periode 2 voor alle u[0] ongelijk aan 1.
Het gedrag van de rij berust op een aantal realisaties.

1. De grafiek van f(x) heeft in de buurt van x=1 een helling van ongeveer -2.
   Dus voor x in de buurt van 1 maar ongelijk aan 1 wordt door de iteratie u[n] "weggedreven" van 1.
2. Voor x1 nadert f(x) vrij snel tot nul en heeft de x-as als asymptoot.
   Dus als u[n] "groot genoeg" is dan is u[n+1] dicht bij nul en positief.
3. De grafiek van f(x) heeft voor x=0 een top f(0)=e.
   Dus als u[n] dicht bij nul ligt dan is u[n+1] ongeveer e.
   Maar dan is u[n+2] ongeveer gelijk aan f(e)=e^1-e2=0.0016798.

Combineren van 1) 2) en 3) levert dan het geobserveerde gedrag.
Probeer ook maar eens u[0]=1.0001 en u[0]=0.9999
Dus voor u[0]=1 krijg je een constante rij.
Voor u[0]=-1 krijg je na de eerste stap een constante rij (Waarom?)
Voor de andere waarden van u[0] krijg je een rij die na enige tijd (vrijwel) periodiek wordt, in ieder geval niet convergeert.

donderdag 15 november 2007

Re: Convergentie van u(n)=e1-(u(n-1))²

©2001-2024 WisFaq