WisFaq!

Convergentie van u(n)=e^1-(u(n-1))²

Gegeven is f(x)=exp(1-x²)
Verder is gegeven u[n]=f(u[n-1]) en u[0]=c
Als dekpunt vind je x=1
M.b.v. de convergentiestelling of gewoonweg het vlindertje door het dekpunt kun je zien dat de reeks u[n] niet convergeert naar het dekpunt. Tenzij je voor u[0] de waarde 1 kiest. Niet echt convergent, gewoon een constante rij. f(x)=1 oplossen leert dat ook voor x=-1 een c onstante rij volgt.

Echter...voer ik als beginwaarde u[0]=0.1 in dan gebeurt toch iets vreemds...
Het lijkt alsof er een periodieke rij met periode 2 ontstaat. Vanaf u[5] zijn de termen afwisselend 2,718274157 en 0,001679911118. Zeker als je naar u[1] en u[2] kijkt dan lijkt het alsof er toch convergentie gaat plaatsvinden... Echter...dat periodieke rijtje lijkt niet echt op iets dat convergeert of divergeert.
Wie kan me dit verklaren?

Nadine
14-11-2007

Antwoord

Dit is een hele leuke vraag!
In feite krijg je die periodieke rij met periode 2 voor alle u[0] ongelijk aan 1.
Het gedrag van de rij berust op een aantal realisaties.

1. De grafiek van f(x) heeft in de buurt van x=1 een helling van ongeveer -2.
   Dus voor x in de buurt van 1 maar ongelijk aan 1 wordt door de iteratie u[n] "weggedreven" van 1.
2. Voor x1 nadert f(x) vrij snel tot nul en heeft de x-as als asymptoot.
   Dus als u[n] "groot genoeg" is dan is u[n+1] dicht bij nul en positief.
3. De grafiek van f(x) heeft voor x=0 een top f(0)=e.
   Dus als u[n] dicht bij nul ligt dan is u[n+1] ongeveer e.
   Maar dan is u[n+2] ongeveer gelijk aan f(e)=e^1-e2=0.0016798.

Combineren van 1) 2) en 3) levert dan het geobserveerde gedrag.
Probeer ook maar eens u[0]=1.0001 en u[0]=0.9999
Dus voor u[0]=1 krijg je een constante rij.
Voor u[0]=-1 krijg je na de eerste stap een constante rij (Waarom?)
Voor de andere waarden van u[0] krijg je een rij die na enige tijd (vrijwel) periodiek wordt, in ieder geval niet convergeert.

hk
15-11-2007