Afleiding opp vierhoek uit opp 2 driehoeken met sinus

Vierhoek ABCD op een cirkel met Ab=c, BC=a, CD=d, AD=b, BD=q en AC=p.
ik heb berekend:
opp driehoek ABC = 1/2·a·c·sin(B)
opp driehoek ACD = 1/2·p·b·sin(A)
Hoe leid ik uit deze 2 oppervlakten de vierhoek-oppervlakte af.

Herman
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 30 september 2007

Antwoord

Beste Herman,
Wat bedoel je met de vierhoek-oppervlakte? Er zijn er zoveel.

Bij driehoek ACD zal je bedoelen sin (ÐDAC) en niet sin(A).
Ik denk trouwens dat je bedoelt:
opp DABC=¹/₂×acsin(B)
opp DACD=¹/₂×bdsin(D)
Nu geldt:sin(B)=sin(D), want ÐB+ÐD=180, dus ÐD=180⁰-ÐB.
Dan krijg je:
oppervalk ABCD=¹/₂×(ac+bd)sin(B)

Verder geldt: cd+ab=pq.
Dit is de stelling van Ptolemaeus.
Dat wordt bewezen in onderstaande link.
Let wel op, want jouw naamgeving, a,b,c,d is anders dan in dat artikel!

http://www.pandd.demon.nl/sinregel.htm

Laat even weten wat je precies bedoelt als dit niet is wat je wilde!

ldr
zondag 30 september 2007

Re: Afleiding opp vierhoek uit opp 2 driehoeken met sinus

©2001-2024 WisFaq