Absoluut convergente reeks
Wie wil me helpen met het volgende:
Is de reeks
sigma n=2 tot oneindig (-1)tot de macht(n+1)·(1 / (nln2n))
convergent, absoluut convergent of beide?
Bij voorbaat dank!
Tjen
Student hbo - vrijdag 17 augustus 2007
Antwoord
Dit is duidelijk een alternerende reeks: door de factor (-1)n+1 hebben twee opeenvolgende termen telkens een verschillend teken. Voor alternerende reeksen kan je het criterium van Leibniz gebruiken: als de reeks $\sum$(-1)n·an is, met an een dalende rij die naar nul convergeert, dan is die reeks convergent.
Is de reeks absoluut convergent, maw is de reeks $\sum$1/(n·ln2(n)) convergent? Dit kan je doen met Cauchy's integraaltest, als je die gezien hebt... Die gaat als volgt: als je een reeks hebt $\sum$un waarbij alle un positief zijn, maak dan een functie f(x) die voor x=n overeenkomt met un en die continu en dalend is. Dus hier f(x)=1/(x·ln2(x)). Dan zullen $\sum$un en $\int{}$f(x)dx hetzelfde gedrag hebben (dus allebei convergent OF allebei divergent). De integraal heeft daarbij als bovengrens plus oneindig, en als ondergrens een willekeurig getal groter dan of gelijk aan 1 (kies hier bv 2 om problemen met die ln te vermijden). Je moet dus enkel nog nagaan of $\int{}$2$\infty$1/(x·ln2(x)) dx eindig is of niet (gebruik y=ln(x) als substitutie om de integraal op te lossen).
Groeten,
Christophe.
Christophe
zaterdag 18 augustus 2007
©2001-2024 WisFaq
|