WisFaq!

Absoluut convergente reeks

Wie wil me helpen met het volgende:

Is de reeks

sigma n=2 tot oneindig (-1)tot de macht(n+1)·(1 / (nln²n))

convergent, absoluut convergent of beide?

Bij voorbaat dank!

Tjen
17-8-2007

Antwoord

Dit is duidelijk een alternerende reeks: door de factor (-1)ⁿ⁺¹ hebben twee opeenvolgende termen telkens een verschillend teken. Voor alternerende reeksen kan je het criterium van Leibniz gebruiken: als de reeks $\sum$(-1)ⁿ·a_n is, met a_n een dalende rij die naar nul convergeert, dan is die reeks convergent.

Is de reeks absoluut convergent, maw is de reeks $\sum$1/(n·ln²(n)) convergent? Dit kan je doen met Cauchy's integraaltest, als je die gezien hebt... Die gaat als volgt: als je een reeks hebt $\sum$u_n waarbij alle u_n positief zijn, maak dan een functie f(x) die voor x=n overeenkomt met u_n en die continu en dalend is. Dus hier f(x)=1/(x·ln²(x)). Dan zullen $\sum$u_n en $\int{}$f(x)dx hetzelfde gedrag hebben (dus allebei convergent OF allebei divergent). De integraal heeft daarbij als bovengrens plus oneindig, en als ondergrens een willekeurig getal groter dan of gelijk aan 1 (kies hier bv 2 om problemen met die ln te vermijden). Je moet dus enkel nog nagaan of $\int{}$₂^$\infty$1/(x·ln²(x)) dx eindig is of niet (gebruik y=ln(x) als substitutie om de integraal op te lossen).

Groeten,
Christophe.

Christophe
18-8-2007