Tweedegraadsvergelijkingen

De som van de kwadraten van drie opeenvolgende natuurlijke getallen eindigt op 9 en is kleiner dan 500. Bepaal deze getallen en geef alle oplossingen. (Als tip staat er gegeven : Als je een getal dat eindigt op het cijfer 9 vermeerdert met 1 bekom je een tienvoud.)

Ik heb gevonden: x²+(x+1)²+(x+2)²500 en ik dacht
x²+(x+1)²+(x+2)²+1=10y

Kunnen jullie me wat op weg helpen a.u.b.???

Dank u

Kevin
2de graad ASO - maandag 27 november 2006

Antwoord

Als je de getallen x, x+1 en x+2 noemt, is de som van hun kwadraten 3x²+6x+5.

Als dat een getal moet voorstellen dat eindigt op een 9, dan is volgens de tip 3x²+6x+6 een getal dat deelbaar is door 10. Nu is 3x²+6x+6=3(x²+2x+2) en aangezien die 3 geen bijdrage levert tot het deelbaar zijn door 10 (maw 3 en 10 zijn onderling ondeelbaar), is het dus de factor x²+2x+2 die moet deelbaar zijn door 10.

De oneven waarden voor x kunnen we al direct uitsluiten, want voor die x-waarden is x²+2x+2 zelf oneven en dus zeker niet deelbaar door 10. Voor de overblijvende mogelijke resten van x bij deling door 10 vind je achtereenvolgens:

x=0 mod 10 = x²+2x+2 = 2 mod 10
x=2 mod 10 = x²+2x+2 = 0 mod 10 ==
x=4 mod 10 = x²+2x+2 = 6 mod 10
x=6 mod 10 = x²+2x+2 = 0 mod 10 ==
x=8 mod 10 = x²+2x+2 = 2 mod 10

Als de rest van x bij deling door 10 gelijk is aan 2 of 6, zal x²+2x+2 een tienvoud zijn en dus ook 3x²+6x+6. De mogelijke oplossingen zijn dus

2,3,4
6,7,8
12,13,14
16,17,18
22,23,24
26,27,28
...

maar enkel de eerste twee drietallen hebben een som van de kwadraten die kleiner is dan 500.

maandag 27 november 2006

©2001-2024 WisFaq