WisFaq!

Tweedegraadsvergelijkingen

De som van de kwadraten van drie opeenvolgende natuurlijke getallen eindigt op 9 en is kleiner dan 500. Bepaal deze getallen en geef alle oplossingen. (Als tip staat er gegeven : Als je een getal dat eindigt op het cijfer 9 vermeerdert met 1 bekom je een tienvoud.)

Ik heb gevonden: x²+(x+1)²+(x+2)²500 en ik dacht
x²+(x+1)²+(x+2)²+1=10y

Kunnen jullie me wat op weg helpen a.u.b.???

Dank u

Kevin Hendrickx
27-11-2006

Antwoord

Als je de getallen x, x+1 en x+2 noemt, is de som van hun kwadraten 3x²+6x+5.

Als dat een getal moet voorstellen dat eindigt op een 9, dan is volgens de tip 3x²+6x+6 een getal dat deelbaar is door 10. Nu is 3x²+6x+6=3(x²+2x+2) en aangezien die 3 geen bijdrage levert tot het deelbaar zijn door 10 (maw 3 en 10 zijn onderling ondeelbaar), is het dus de factor x²+2x+2 die moet deelbaar zijn door 10.

De oneven waarden voor x kunnen we al direct uitsluiten, want voor die x-waarden is x²+2x+2 zelf oneven en dus zeker niet deelbaar door 10. Voor de overblijvende mogelijke resten van x bij deling door 10 vind je achtereenvolgens:

x=0 mod 10 = x²+2x+2 = 2 mod 10
x=2 mod 10 = x²+2x+2 = 0 mod 10 ==
x=4 mod 10 = x²+2x+2 = 6 mod 10
x=6 mod 10 = x²+2x+2 = 0 mod 10 ==
x=8 mod 10 = x²+2x+2 = 2 mod 10

Als de rest van x bij deling door 10 gelijk is aan 2 of 6, zal x²+2x+2 een tienvoud zijn en dus ook 3x²+6x+6. De mogelijke oplossingen zijn dus

2,3,4
6,7,8
12,13,14
16,17,18
22,23,24
26,27,28
...

maar enkel de eerste twee drietallen hebben een som van de kwadraten die kleiner is dan 500.

cl
27-11-2006