Bewijs punt op cirkelboog
Ik zoek het antwoord, of een aantal tips/hints, op de volgende opdracht:
Gegeven is een ruit ABCD met ÐA = 60 graden.
Op lijn CD ligt een punt E.
Lijn AE snijdt BC in punt F, lijn DF snijdt BE in P.
Te bewijzen: als E over CD loopt, dan loopt P over de omgeschreven cirkel van DBCD.
Ik was al zover dat ik weet dat je moet bewijzen dat Ð BPC constant is. En dat kan door te bewijzen dat BPCD een koordenvierhoek is, dus ÐBDC + ÐBPC = 180° en/of ÐPBD + ÐPCD = 180°. (Echt ver was ik dus nog niet.)
Mark
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 11 oktober 2006
Antwoord
Beste Mark,
Ik denk dat in dit geval het best de omgekeerde weg kan worden bewandeld:
We nemen P op de cirkel door BCD, en verlengen BP tot CD gesneden wordt. Het snijpunt noemen we X. We gaan nu laten zien dat met deze X voor E, het betreffende punt P inderdaad wordt gevonden. Dus F wordt het snijpunt van PD en BC en dan tonen we aan dat A, F en X op één lijn liggen. Omdat elk punt X=E precies één keer gevonden wordt als origineel van P, bewijst dit het gevraagde.
Doordat P op de cirkel is gekozen kunnen we gebruiken dat twee omtrekshoeken die dezelfde boog van een cirkel afsnijden even groot zijn. Dus bijvoorbeeld hoek(BPD)=60 graden. Met wat gepuzzel zien we dat de driehoeken PXC, DXB en PDB gelijkvormig zijn.
Laat Y het punt zijn waar XF snijdt met DB.
We gebruiken nu de Stelling van Ceva, toegepast op driehoek BXD met F als punt in de driehoek. Daaruit leiden we af:
BP/PX · XC/CD · DY/YB = 1
ofwel
BP/PX · XC/CD = YB/DY
Uit de gelijkvormigheid van PXC en PDB leiden we af:
XC/PX = BD/PD = CD/PD.
Vullen we dit hierboven in dan krijgen we
YB/DY = BP/PD.
Uit de gelijkvormigheid van PDB en DXB leiden we nu juist weer af dat
BP/PD = BD/DX = AB/DX.
Met als conclusie dat
YB/DY = AB/DX.
Dit betekent dat de lijnen DY en XY van de lijn door AB precies een lijnstuk met lengte AB afsnijden (zandloperfiguur), en dat B ook het eindpunt is. Oftewel XY=XF komt uit in A.
Groeten,
FvL
donderdag 12 oktober 2006
©2001-2024 WisFaq
|