WisFaq!

Bewijs punt op cirkelboog

Ik zoek het antwoord, of een aantal tips/hints, op de volgende opdracht:

Gegeven is een ruit ABCD met ÐA = 60 graden.
Op lijn CD ligt een punt E.
Lijn AE snijdt BC in punt F, lijn DF snijdt BE in P.
Te bewijzen: als E over CD loopt, dan loopt P over de omgeschreven cirkel van DBCD.



Ik was al zover dat ik weet dat je moet bewijzen dat Ð BPC constant is. En dat kan door te bewijzen dat BPCD een koordenvierhoek is, dus ÐBDC + ÐBPC = 180° en/of ÐPBD + ÐPCD = 180°. (Echt ver was ik dus nog niet.)

Mark
11-10-2006

Antwoord

Beste Mark,

Ik denk dat in dit geval het best de omgekeerde weg kan worden bewandeld:

We nemen P op de cirkel door BCD, en verlengen BP tot CD gesneden wordt. Het snijpunt noemen we X. We gaan nu laten zien dat met deze X voor E, het betreffende punt P inderdaad wordt gevonden. Dus F wordt het snijpunt van PD en BC en dan tonen we aan dat A, F en X op één lijn liggen. Omdat elk punt X=E precies één keer gevonden wordt als origineel van P, bewijst dit het gevraagde.

Doordat P op de cirkel is gekozen kunnen we gebruiken dat twee omtrekshoeken die dezelfde boog van een cirkel afsnijden even groot zijn. Dus bijvoorbeeld hoek(BPD)=60 graden. Met wat gepuzzel zien we dat de driehoeken PXC, DXB en PDB gelijkvormig zijn.

Laat Y het punt zijn waar XF snijdt met DB.

We gebruiken nu de Stelling van Ceva, toegepast op driehoek BXD met F als punt in de driehoek. Daaruit leiden we af:

^BP/_PX · ^XC/_CD · ^DY/_YB = 1

ofwel

^BP/_PX · ^XC/_CD = ^YB/_DY

Uit de gelijkvormigheid van PXC en PDB leiden we af:

^XC/_PX = ^BD/_PD = ^CD/_PD.

Vullen we dit hierboven in dan krijgen we

^YB/_DY = ^BP/_PD.

Uit de gelijkvormigheid van PDB en DXB leiden we nu juist weer af dat

^BP/_PD = ^BD/_DX = ^AB/_DX.

Met als conclusie dat

^YB/_DY = ^AB/_DX.

Dit betekent dat de lijnen DY en XY van de lijn door AB precies een lijnstuk met lengte AB afsnijden (zandloperfiguur), en dat B ook het eindpunt is. Oftewel XY=XF komt uit in A.

Groeten,
FvL

FvL
12-10-2006