Bewijs productregel uitleg stappen

Hallo,

Het toepassen van de productregel is geen probleem, maar ik snap het bewijs niet en dan gaat het om het volgende;

Bewijs Neem f(x)=p(x)·q(x)

f'(x)= f(x+h)-f(x)
h

Stap 1) f'(x)= p(x+h)·q(x+h) - p(x)·q(x)
h

2) f'(x)= p(x+h)·q(x+h)-p(x+h)·q(x)+p(x+h)·q(x)-p(x)·q(x)
h

3) f'(x)= p(x+h)·(q(x+h)-q(x)) + q(x)·(p(x+h)-p(x))
h

4) f'(x)= p(x+h)·(q(x+h)-q(x)) + q(x)·(p(x+h)-p(x))
h h

5) f'(x)= p(x+h)· q(x+h)-q(x) + q(x)· p(x+h)-p(x)
h h

6) f'(x)= p(x)·q'(x) + q(x)·p'(x)

Waarvandaan komt ineens -p(x+h)·q(x)+p(x+h)·q(x) bij stap 2?
Hoezo kan de p(x+h) & q(x) bij stap 5 ineens vóór de breuk?

Hopelijk is alles een beetje duidelijk!!

Alvast bedankt!
Groetjes, Melissa.

Meliss
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 21 mei 2006

Antwoord

Beste Melissa,

Bij stap 2 komt helemaal 'uit het niets', het is gewoon een truc om verder te kunnen met het bewijs. Maar het mag wel, want wat je doet is eigenlijk "+x-x", je telt er iets bij maar je trekt er ook weer hetzelfde van af - je doet dus eigenlijk 'niets'.

Bij stap 5, die p(x+h) en q(x) waren al buiten haakjes gebracht, ze stonden er dus als factoren. Een factor in een teller mag je net zo goed voor de breuk zetten. Als je in p(x+h) dan h naar 0 laat gaan, krijg je gewoon p(x). Die andere factor blijft natuurlijk q(x) en de twee breuken zijn nu precies de definities van de afgeleiden, p'(x) en q'(x).

Zie ook Bewijs van de productregel

mvg,
Tom

zondag 21 mei 2006

©2001-2024 WisFaq