Faculteiten
Hoe bewijs je dat n! $<$ (n/2)n ?
Ik probeerde het met inductie, maar kwam vast te zitten.
Stijn
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 12 maart 2006
Antwoord
Beste Stijn,
Dit kunnen we voor voldoende grote n halen uit een algemene stelling dat het meetkundig gemiddelde van een aantal nietnegatieve getallen kleiner of gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van die getallen. Of in formule-taal, als je de getallen x1, x2, ..., xn hebt, dan
(x1·x2·...·xn)1/n $\leq$ (x1+x2+...+xn)/n,
of, op een andere manier geschreven
x1·x2·...·xn $\leq$ ((x1+x2+...+xn)/n)n.
Laten we deze ongelijkheid de Rekenkundig gemiddelde - Meetkundig gemiddelde ongelijkheid noemen, kortweg RG-MG-ongelijkheid.
Toepassend op n! krijg je
n! = 2·...·n $\leq$ ( 2+...+n/n )n-1 = (n+2/2)n-1
Deze formule gaan we straks verder uitbouwen.
Het algemene geval van de RG-MG-ongelijkheid is lastig te bewijzen...
Voor twee getallen is het wel makkelijk om te bewijzen. Als we de RG-MG-ongelijkheid naar twee getallen, zeg a en b, herschrijven dan staat er:
√(ab)$\leq$ a+b/2.
Dit is op de volgende manier te herleiden tot equivalente ongelijkheden:
2 √(ab)$\leq$ a+b
0 $\leq$ a - 2 √ (ab) + b
0 $\leq$ (√a)2 - 2 √a √b + (√b)2
0 $\leq$ (√a - √b)2
Die laatste ongelijkheid is natuurlijk waar, want een kwadraat is altijd $\geq$0, en dus is de RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen a en b ook waar.
Met RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen heb je genoeg voor het bewijzen van jouw ongelijkheid. Je splitst dan op:
- 2·n $\leq$(n+2/2)2,
- 3·(n-1) $\leq$(n+2/2)2,
- 4·(n-2) $\leq$(n+2/2)2,
- ...
Okay. We hebben dus
n! $\leq$ (n+2/2)n-1.
Voor n voldoende groot geldt echter dat
(n+2/2)n-1 $<$ (n/2)n
oftewel
(n+2/n)n-1 $<$ n/2
oftewel
(1+2/n)n $<$ n/2(1+2/n) = n/2+1.
De juistheid van de onderste ongelijkheid kun je zien doordat het linkerlid als limiet voor n naar oneindig e2 heeft, ongeveer 7,389, en het rechterlid gaat daar voor n groot genoeg (vanaf 13) duidelijk overheen. Met wat precies werk is er dus een grens voor n aan te geven waarboven de ongelijkheid geldt. Nader controleren geeft trouwens aan dat jouw ongelijkheid al wat eerder klopt.
Zie onderstaande link voor een andere aanpak.
Zie Ongelijkheid bewijzen
zondag 12 maart 2006
©2001-2024 WisFaq
|