WisFaq!

Faculteiten

Hoe bewijs je dat n! $<$ (n/2)ⁿ ?
Ik probeerde het met inductie, maar kwam vast te zitten.

Stijn
12-3-2006

Antwoord

Beste Stijn,

Dit kunnen we voor voldoende grote n halen uit een algemene stelling dat het meetkundig gemiddelde van een aantal nietnegatieve getallen kleiner of gelijk is aan het rekenkundig gemiddelde van die getallen. Of in formule-taal, als je de getallen x₁, x₂, ..., x_n hebt, dan

(x₁·x₂·...·x_n)^1/n $\leq$ (x₁+x₂+...+x_n)/n,

of, op een andere manier geschreven

x₁·x₂·...·x_n $\leq$ ((x₁+x₂+...+x_n)/n)ⁿ.

Laten we deze ongelijkheid de Rekenkundig gemiddelde - Meetkundig gemiddelde ongelijkheid noemen, kortweg RG-MG-ongelijkheid.

Toepassend op n! krijg je

n! = 2·...·n $\leq$ ( ^2+...+n/_n )^n-1 = (ⁿ⁺²/₂)^n-1

Deze formule gaan we straks verder uitbouwen.

Het algemene geval van de RG-MG-ongelijkheid is lastig te bewijzen...

Voor twee getallen is het wel makkelijk om te bewijzen. Als we de RG-MG-ongelijkheid naar twee getallen, zeg a en b, herschrijven dan staat er:

√(ab)$\leq$ ^a+b/₂.

Dit is op de volgende manier te herleiden tot equivalente ongelijkheden:

2 √(ab)$\leq$ a+b
0 $\leq$ a - 2 √ (ab) + b
0 $\leq$ (√a)² - 2 √a √b + (√b)²
0 $\leq$ (√a - √b)²

Die laatste ongelijkheid is natuurlijk waar, want een kwadraat is altijd $\geq$0, en dus is de RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen a en b ook waar.

Met RG-MG-ongelijkheid voor twee getallen heb je genoeg voor het bewijzen van jouw ongelijkheid. Je splitst dan op:

• 2·n $\leq$(ⁿ⁺²/₂)²,
  
• 3·(n-1) $\leq$(ⁿ⁺²/₂)²,
  
• 4·(n-2) $\leq$(ⁿ⁺²/₂)²,
  
• ...
  

Okay. We hebben dus

n! $\leq$ (ⁿ⁺²/₂)^n-1.

Voor n voldoende groot geldt echter dat

(ⁿ⁺²/₂)^n-1 $<$ (ⁿ/₂)ⁿ

oftewel

(ⁿ⁺²/_n)^n-1 $<$ ⁿ/₂

oftewel

(1+²/_n)ⁿ $<$ ⁿ/₂(1+²/_n) = ⁿ/₂+1.

De juistheid van de onderste ongelijkheid kun je zien doordat het linkerlid als limiet voor n naar oneindig e² heeft, ongeveer 7,389, en het rechterlid gaat daar voor n groot genoeg (vanaf 13) duidelijk overheen. Met wat precies werk is er dus een grens voor n aan te geven waarboven de ongelijkheid geldt. Nader controleren geeft trouwens aan dat jouw ongelijkheid al wat eerder klopt.

Zie onderstaande link voor een andere aanpak.

Zie Ongelijkheid bewijzen [http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=44176]

FvL
12-3-2006