Theorema van De Moivre

Voor gebroken exponenten klopt het theorema van De Moivre met de formules die in het boek reeds waren behandeld: stellen we dus a = b/n dan:

(cos b/n + i sin b/n)^n = cos n. b/n + i sin n. b/n =
cos b + i sin b.

Maar volgens het boek moeten we nu oppassen, omdat:
(cos b + 2 pi/n + i sin b+ 2 pi/n )^n =
cos (b + 2 pi) + i sin ( b + 2 pi)= cos b + i sin b

(vanaf hier snap ik niet meer wat de schrijver mij onder de aandacht probeert te brengen!)

en je kan makkelijk nagaat, dat
cos b/n + i sin b/n en cos b + 2 pi/n + i sin b+ 2 pi/n
niet aan elkaar gelijk zijn. Dus kunnen we slechts zeggen dat een van de waarden

sqrt(cos b/n + i sin b/n) of (cos b/n + i sin b/n)^1/n gelijk is aan cos b/n + i sin b/n.

Als n een geheel getal is, zijn er nog (n-1) andere waarden cos b + 2 r pi/n + i sin b+ 2 r pi/n
waarin r = 1, 2, 3 tot en met n-1

Kunt u mij dit laatste stuk anders proberen uit te leggen.

Yara
Leerling bovenbouw vmbo - zaterdag 24 december 2005

Antwoord

Allereerst: let op je haakjes, als je cos b + 2 pi/n + i sin b+ 2 pi/n opschrijft loop je het risico dat men dit leest als cos b + i sin b +2pi/n (zo las ik het eerst ook, maar je bedoelde natuurlijk cos((b+2pi)/n) + i*sin((b+2pi)/n).
Wat het boek probeerde duidelijk te maken is dat de notatie c^1/n voor complexe getallen erg dubbelzinning is: de vergelijking zⁿ=c heeft n verschillende oplossingen (behalve als c=0) en er is geen reden om één van die oplossingen c^1/n te noemen.
Bijvoorbeeld i=cos(pi/2)+isin(pi/2), en i=cos(5pi/2)+isin(5pi/2), en i=cos(9pi/2)+isin(9pi/2); zo krijg je dus drie mogelijkheden voor i^1/3: cos(pi/6)+isin(pi/6)=1/2sqrt(3)+1/2i, cos(5pi/6)+isin(5pi/6)=-1/2sqrt(3)+1/2i en cos(3pi/2)+isin(3pi/2)=-i. Elk van die drie heeft even veel recht om i^1/3 te zijn en daarom moet je bij `De Moivre' oppassen met gebroken exponenten.

kphart
maandag 2 januari 2006

Re: Theorema van De Moivre

©2001-2024 WisFaq