WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Theorema van De Moivre

Dit is een reactie op vraag 42471

Bijvoorbeeld i=cos(pi/2)+isin(pi/2)=1/2sqrt(3)+1/2i, en i=cos(5pi/2)+isin(5pi/2)=-1/2sqrt(3)+1/2i, en i=cos(9pi/2)+isin(9pi/2)=-i; zo krijg je dus drie mogelijkheden voor i1/3: cos(pi/6)+isin(pi/6), cos(5pi/6)+isin(5pi/6) en cos(3pi/2)+isin(3pi/2). Elk van die drie heeft even veel recht om i1/3 te zijn.

Ik kom er nog niet uit. Uw voorbeeld lees ik alsvolgt:
i ( dat is toch sqrt -1?) stellen we op cos(pi/2)+i sin(pi/2) en dat is tevens gelijk aan 1/2sqrt(3)+1/2i
Zo volgen er nog twee andere vergelijkingen die aan elkaar gelijk zijn (waaronder één die zelf ertoe leidt dat i =-i.)
Mijn eerste probleem waarom ik uw uitleg niet direct doorzie is dat ik cos(pi/2)+i sin(pi/2) gelijk stel aan 0 + i 1/2, ook bij de andere vergelijkingen zoals cos(5pi/2)+isin(5pi/2)krijg ik een andere uitkomst. (Trouwens pi/2 is toch hetzelfde als 1/2 pi en cos 1.2pi is toch 0 en sin 1/2 pi is toch 1?)
Ten tweede weet ik niet hoe ik moet omgaan met i^1/3
i^1/3 = (cos(pi/2)+isin(pi/2))^1/3
Ik zie niet hoe je daaruit krijgt cos(pi/6)+isin(pi/6)
Waar blokkeer ik mezelf?

yara
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 2 januari 2006

Antwoord

Ik had me bij het beantwoorden verschreven en ik heb het antwoord inmiddels verbeterd. Wat het boek probeerde uit te leggen is dat je met de formule van De Moivre moet oppassen als je gebroken exponenten gebruikt. Kijk naar je allereerste formule: (cos b/n + i sin b/n)ⁿ = cos(n.b/n) + i*sin(n.b/n) = cos b + i sin b. Daaruit zou men willen concluderen dat (cos(b)+i*sin(b))^1/n = cos(b/n)+i*sin(b/n). Maar dat is gevaarlijk.
In mijn voorbeeld hebben n=3 en eerst b=pi/2; je zou dan denken dat (cos(b)+i*sin(b))^1/3 = cos(b/3)+i*sin(b/3).
Als je b=pi/2 invult komt er (cos(pi/2)+i*sin(pi/2))^1/3 = cos(pi/6)+i*sin(pi/6); als we de (co)sinussen nader bepalen komt er dus (0+i)^1/3=1/2*sqrt(3)+i*1/2.
Maar: je kunt ook b=5pi/2 nemen, dan krijg je (cos(5pi/2)+i*sin(5pi/2))^1/3 = cos(5pi/6)+i*sin(5pi/6); weer de (co)sinussen uitschrijven geeft nu (0+i)^1/3=-1/2*sqrt(3)+i*1/2.
Ook: als je b=9pi/2 neem krijg je op dezelfde manier (0+i)^1/3=0-i.
Conclusie: als je de formule van De Moivre voor de exponent 1/3 gebruikt krijg je dat i^1/3 drie waarden tegelijk moet hebben: 1/2*sqrt(3)+i*1/2, -1/2*sqrt(3)+i*1/2 en -i. Dat is een beetje lastig werken.
Het grote verschil met reële getallen is dit: als x een positief getal en n een natuurlijk getal is dan is er maar één positief getal y met yⁿ=x en dat getal noteren we dan met x^1/n; dit lukt omdat er maar één natuurlijke kandidaat is.
Binnen de complexe getallen zijn er blijkbaar drie getallen z die voldoen aan z³=i en er is geen goed criterium waarmee je één van die drie als de echte i^1/3 kunt aanmerken.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 3 januari 2006