Periode van goniometrische functies bepalen
Hoe bepaal je de periode van een goniometrische formule in het algemeen? De functies zijn wel vrij ingewikkeld. We werken dus ook met kwadraten en dergelijke
bvb: sin2(5x+1)cos3(3x)
hoe ga je dan te werk?
MVG
Charlo
Student universiteit België - zondag 18 december 2005
Antwoord
Noem 5x+1=u en 3x=t dan krijgen we sin2u.cos3(t)
Uit cos(2u)=1-2sin2u volgt: sin2(u)=1/2-1/2cos(2u)
Uit cos(3t)=4cos3(t)-3cos(t) volgt cos3(t)=1/4cos(3t)+3/4cos(t)
We hebben dus (1/2-1/2cos(2u))(1/4cos(3t)+3/4cos(t))=
1/8(1-cos(2u))(cos(3t+3cos(t))
Voor de periode is de factor 1/8 niet van belang en die laten we verder weg. Na haakjes wegwerken vinden we:
cos(3t)+3cos(t)-cos(2u)cos(3t)-3cos(2u)cos(t).
Nu geldt cos(p)cos(q)=1/2(cos(p+q)+cos(p-q)) zodat we krijgen:
cos(3t)+3cos(t)-1/2cos(2u+3t)-1/2cos(2u-3t)-3/2cos(2u+t)-3/2cos(2u-t).
Terug invullen van u=5x+1 en t=3x levert dan:
cos(9x)+3cos(3x)-1/2cos(19x+2)-1/2cos(x+2)-3/2cos(13x+2)-3/2cos(7x+2).
De periodes van deze cosinussen zijn 2p gedeeld door 9,3,19,1,13 en 7.
Het kleinste gemene veelvoud van deze periodes is 2p
dinsdag 20 december 2005
©2001-2024 WisFaq
|