WisFaq!

Periode van goniometrische functies bepalen

Hoe bepaal je de periode van een goniometrische formule in het algemeen? De functies zijn wel vrij ingewikkeld. We werken dus ook met kwadraten en dergelijke
bvb: sin²(5x+1)cos³(3x)
hoe ga je dan te werk?
MVG

Charlotte
18-12-2005

Antwoord

Noem 5x+1=u en 3x=t dan krijgen we sin²u.cos³(t)
Uit cos(2u)=1-2sin²u volgt: sin²(u)=¹/₂-¹/₂cos(2u)
Uit cos(3t)=4cos³(t)-3cos(t) volgt cos³(t)=¹/₄cos(3t)+³/₄cos(t)
We hebben dus (¹/₂-¹/₂cos(2u))(¹/₄cos(3t)+³/₄cos(t))=
¹/₈(1-cos(2u))(cos(3t+3cos(t))
Voor de periode is de factor ¹/₈ niet van belang en die laten we verder weg. Na haakjes wegwerken vinden we:
cos(3t)+3cos(t)-cos(2u)cos(3t)-3cos(2u)cos(t).
Nu geldt cos(p)cos(q)=¹/₂(cos(p+q)+cos(p-q)) zodat we krijgen:
cos(3t)+3cos(t)-¹/₂cos(2u+3t)-¹/₂cos(2u-3t)-³/₂cos(2u+t)-³/₂cos(2u-t).
Terug invullen van u=5x+1 en t=3x levert dan:
cos(9x)+3cos(3x)-¹/₂cos(19x+2)-¹/₂cos(x+2)-³/₂cos(13x+2)-³/₂cos(7x+2).
De periodes van deze cosinussen zijn 2p gedeeld door 9,3,19,1,13 en 7.
Het kleinste gemene veelvoud van deze periodes is 2p

hk
20-12-2005