Oppervlakte benaderen
Gevraagd is de oppervlakte tss y=x2 te benaderen met n-deel intervallen
Bovensom:
= 1/n f(1/n) + 1/n f(2/n) + .... + 1/n f (n/n)
= 1/n ( 1/n2 + 22/n2 + .... + (n-1)2/n2 + n2/n2 )
= 1/n3 (1 + 22 + ....+ (n-1)2 + n2)
We hadden dan een formule gezocht voor het gene tss haakjes en dit S genoemd.
Om S te bekomen moesten we dan volgende opdracht uitvoeren: Geg: (1+x)3-x3 = 1+3x+3x2
Hierin moesten we dan x vervangen door 1,2,.... n en op tellen.
We kwamen dan voor S = (2n3+3n2+n)/6 uit.
Maar waarom vertrekken we van (1+x)3-x3 om hieraan te geraken? En waarom beginnen we dan x plots te vervangen?
Graag een beetje extra uitleg...
Ann
3de graad ASO - zondag 2 oktober 2005
Antwoord
Dag Ann
Het is de bedoeling om een formule te vinden voor
S = 12 + 22 + 32 + ... + n2
Welnu :
(1+x)3 - x3 = 1 + 3x + 3x2
Je vervangt nu x door 1, 2 ... n:
voor x = 1 : 23-13 = 1 + 3.1 + 3.12
voor x = 2 : 33-23 = 1 + 3.2 + 3.22
voor x = 3 : 43-33 = 1 + 3.3 + 3.32
.
.
.
voor x = n-1:n3-(n-1)3 = 1 + 3.(n-1) + 3.(n-1)2
voor x = n : (n+1)3-n3 = 1 + 3.n + 3.n2
Nu zie je de som van de laatste termen van alle rechterleden precies driemaal deze som S is.
Als de som maakt van alle linkerleden, stel je vast dat hier heelwat wegvalt (23-23;33-33;...;n3-n3). Er blijft enkel nog over : (n+1)3-13 = n3+3n2+3n
De som van de eerste termen (telkens 1) van de rechterleden is gelijk aan n.1 = n
De som van de middenste termen van de rechterleden is 3.(1+2+3+...n) = 3.1/2.n(n+1) (som van de natuurlijke getallen).
Als je zo de som van de linkerleden gelijk stelt aan de som van de rechterleden heb je :
n3+3n2+3n = n + 3.1/2.n(n+1) + 3.S
Hieruit haal je nu S :
6.S = 2n3+6n2+6n-2n-3n(n+1)
6.S = 2n3+3n2+n
S = 1/6.(2n3+3n2+n)
zondag 2 oktober 2005
©2001-2024 WisFaq
|