WisFaq!

Oppervlakte benaderen

Gevraagd is de oppervlakte tss y=x² te benaderen met n-deel intervallen

Bovensom:
= 1/n f(1/n) + 1/n f(2/n) + .... + 1/n f (n/n)
= 1/n ( 1/n² + 2²/n² + .... + (n-1)²/n² + n²/n² )
= 1/n³ (1 + 2² + ....+ (n-1)² + n²)
We hadden dan een formule gezocht voor het gene tss haakjes en dit S genoemd.

Om S te bekomen moesten we dan volgende opdracht uitvoeren: Geg: (1+x)³-x³ = 1+3x+3x²
Hierin moesten we dan x vervangen door 1,2,.... n en op tellen.

We kwamen dan voor S = (2n³+3n²+n)/6 uit.

Maar waarom vertrekken we van (1+x)³-x³ om hieraan te geraken? En waarom beginnen we dan x plots te vervangen?
Graag een beetje extra uitleg...

Ann
2-10-2005

Antwoord

Dag Ann

Het is de bedoeling om een formule te vinden voor
S = 1² + 2² + 3² + ... + n²

Welnu :
(1+x)³ - x³ = 1 + 3x + 3x²

Je vervangt nu x door 1, 2 ... n:

voor x = 1 : 2³-1³ = 1 + 3.1 + 3.1²
voor x = 2 : 3³-2³ = 1 + 3.2 + 3.2²
voor x = 3 : 4³-3³ = 1 + 3.3 + 3.3²
.
.
.
voor x = n-1:n³-(n-1)³ = 1 + 3.(n-1) + 3.(n-1)²
voor x = n : (n+1)³-n³ = 1 + 3.n + 3.n²

Nu zie je de som van de laatste termen van alle rechterleden precies driemaal deze som S is.

Als de som maakt van alle linkerleden, stel je vast dat hier heelwat wegvalt (2³-2³;3³-3³;...;n³-n³). Er blijft enkel nog over : (n+1)³-1³ = n³+3n²+3n

De som van de eerste termen (telkens 1) van de rechterleden is gelijk aan n.1 = n

De som van de middenste termen van de rechterleden is 3.(1+2+3+...n) = 3.¹/₂.n(n+1) (som van de natuurlijke getallen).

Als je zo de som van de linkerleden gelijk stelt aan de som van de rechterleden heb je :

n³+3n²+3n = n + 3.¹/₂.n(n+1) + 3.S

Hieruit haal je nu S :

6.S = 2n³+6n²+6n-2n-3n(n+1)
6.S = 2n³+3n²+n

S = ¹/₆.(2n³+3n²+n)

LL
2-10-2005