Eigenwaarden

Hoi wisfaq,

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking

y''+my'+ky=0 met y=y(t)

ik heb deze vergelijking geschreven in de vorm x'=Ax met x'en x nx1 vectoren en A een nxn matrix, dan krijg je
(ik heb gedefinieerd y'=z)

[x z]'=[(0 1),(-k -m)][x z] (notatie in rijvectoren)

Nu wil ik alle waarden m en k vinden voor welke dit systeem reele verschillende eigenwaarden heeft.En bepalen wat het teken is van deze eigenwaarden.
Ik heb zelf het volgende:

het karakteristiek polynoom is p(s)=s^2-ms+k
de eigenwaarden moeten reel zijn dus de discriminant D=m^2-4k moet =0 zijn.
Nu weet ik niet hoe ik verder moet.Wat kan ik over m en k zeggen?

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - donderdag 22 september 2005

Antwoord

Dag Viky, (das lang geleden :-) )

De matrixnotatie van het probleem is in orde, alleen zijn de [x z] en [x z]' wel kolomvectoren.

Voor de karakteristieke veelterm vind ik: p(s)=s²+ms+k (een tekenfoutje dus).
De discriminant is dan in elk geval m²-4k.
Je wil reële en verschillende eigenwaarden, dus moet D0. Immers, als D0 dan zijn de eigenwaarden complex, als D=0 dan zijn ze reeel maar samenvallend, als D0 dan zijn ze reëel en verschillend.

Dus moet m²-4k0, of nog m²4k.
De eigenwaarden worden dan gegeven door:
(-m+Ö(m²-4k))/2 en (-m-Ö(m²-4k))/2

Het probleem lijkt mij afkomstig uit de fysica, niet? Dus waarschijnlijk zal wel gegeven zijn dat m en k allebei 0. In dat geval zijn allebei de eigenwaarden negatief, zoals je eenvoudig kan zien (in de tweede eigenwaarde heb je immers twee negatieve termen; in de eerste eigenwaarde heb je een negatieve term plus een positieve die in absolute waarde kleiner is dan de negatieve, dus in het totaal negatief).

Groeten,
Christophe.

Christophe
zaterdag 24 september 2005

Re: Eigenwaarden

©2001-2024 WisFaq