WisFaq!

Eigenwaarden

Hoi wisfaq,

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking

y''+my'+ky=0 met y=y(t)

ik heb deze vergelijking geschreven in de vorm x'=Ax met x'en x nx1 vectoren en A een nxn matrix, dan krijg je
(ik heb gedefinieerd y'=z)

[x z]'=[(0 1),(-k -m)][x z] (notatie in rijvectoren)

Nu wil ik alle waarden m en k vinden voor welke dit systeem reele verschillende eigenwaarden heeft.En bepalen wat het teken is van deze eigenwaarden.
Ik heb zelf het volgende:

het karakteristiek polynoom is p(s)=s^2-ms+k
de eigenwaarden moeten reel zijn dus de discriminant D=m^2-4k moet =0 zijn.
Nu weet ik niet hoe ik verder moet.Wat kan ik over m en k zeggen?

Groeten,
Viky

viky
22-9-2005

Antwoord

Dag Viky, (das lang geleden :-) )

De matrixnotatie van het probleem is in orde, alleen zijn de [x z] en [x z]' wel kolomvectoren.

Voor de karakteristieke veelterm vind ik: p(s)=s²+ms+k (een tekenfoutje dus).
De discriminant is dan in elk geval m²-4k.
Je wil reële en verschillende eigenwaarden, dus moet D0. Immers, als D0 dan zijn de eigenwaarden complex, als D=0 dan zijn ze reeel maar samenvallend, als D0 dan zijn ze reëel en verschillend.

Dus moet m²-4k0, of nog m²4k.
De eigenwaarden worden dan gegeven door:
(-m+Ö(m²-4k))/2 en (-m-Ö(m²-4k))/2

Het probleem lijkt mij afkomstig uit de fysica, niet? Dus waarschijnlijk zal wel gegeven zijn dat m en k allebei 0. In dat geval zijn allebei de eigenwaarden negatief, zoals je eenvoudig kan zien (in de tweede eigenwaarde heb je immers twee negatieve termen; in de eerste eigenwaarde heb je een negatieve term plus een positieve die in absolute waarde kleiner is dan de negatieve, dus in het totaal negatief).

Groeten,
Christophe.

Christophe
24-9-2005