Re: Kromme die een vlak vult

Dit is een reactie op vraag 38599

hai Christophe,

Zou U misschien een voorbeeld kunnen geven van het volgende
"beeld elk punt (x,y) van je Hilbertkromme af op het punt (x,xy)"

Ook ben ik bezig de continuiteit van de hilbertkromme te bewijzen.
Als je bijvoorbeeld een punt P op de kromme pakt en je kijkt naar wat punten in de buurt van P, moet je op het getallenlijnstuk ook in de buurt blijven van het getal dat met punt P overeenkomt.Toch?
Maar hoe is dit te bewijzen? Het hoeft niet een perfect wiskundig bewijs te zijn..maar wel zo duidelijk mogelijk.

In ieder geval
Hartelijk dank

groetjes

Amy
Student hbo - zondag 29 mei 2005

Antwoord

Hi Amy,

Die afbeelding is maar een voorbeeld, maar wel het eenvoudigste denk ik. Ben je akkoord dat, als die afbeelding een vierkant omzet in een driehoek, dat dan ook je Hilbertcurve (die in dat vierkant getekend is) mee wordt vervormd zodat die in die driehoek zal passen?

Teken dan eens het eenheidsvierkant (dus hoekpunten (0,0), (1,0), (0,1), (1,1)). En duid er ook een aantal punten op aan (enkele op de zijden, ook nog enkele binnen in het vierkant). En bereken van al die punten het beeld, bijvoorbeeld het punt (0.3,0.7) wordt afgebeeld op (0.3,0.3*0.7)=(0.3,0.21). Dan zal je wel zien dat dat vierkant op een driehoek wordt afgebeeld.

Die continuiteit: in formules is dat
"e0 $d0 : |x-x₀| d Þ |f(x)-f(x₀)| e.
Dat komt dus inderdaad ongeveer neer op wat je zegt.
Nu, een bewijs hiervan...
Voor elke e moet je een d vinden. Nu, als die d kleiner is dan 2^-2n, dan zal epsilon kleiner zijn dan die 2^-n. Kijk bijvoorbeeld eens naar figuur 2c op deze pagina: als je een punt op je getallenas [0,1] neemt, dan stemt dit overeen met een punt op die 'voorlopige' Hilbertkromme. Als je van dit punt 1/16 weggaat op de as, dan komt dit neer op het bewegen over zo één lijnstukje, dus over een afstand van 1/4 op de kromme. En als je dan naar de kromme kijkt (limietsituatie), dan zal dit ook altijd zo blijven: als je een kleine uitwijking doet op je x-waarde, zal de uitwijking op de Hilbertkromme ook klein blijven.

Ik weet het, dit zal allicht niet al te duidelijk zijn. Maar misschien wordt het dat wel als je een voorbeeld ziet van een niet-continue vlakvullende kromme. Kijk eens op deze pagina, meer bepaald p42. Je ziet dat er in het midden van de figuur altijd een lijnstuk blijft lopen van helemaal bovenaan tot helemaal onderaan. Dat is dus een lijnstuk met lengte ongeveer 1, terwijl de overeenkomstige x-waarden op de getallenas willekeurig dicht bij elkaar liggen (haja: als je heel veel stappen van je tekening uitvoert dan is dat ene lijnstuk nog slechts het beeld van een willekeurig klein intervalletje op de x-as). Dat zal dus niet continu zijn: je kan immers geen delta vinden zodanig dat alle x-waarden op afstand maximum delta van x₀, een beeld zullen hebben dat dicht bij f(x₀) ligt.

Ik hoop dat je er iets aan hebt...

Groeten,
Christophe.

Christophe
maandag 30 mei 2005

©2001-2024 WisFaq