Kromme die een vlak vult

hai wisfaq

De Hilbert-kromme vult een vierkant, ik vraag me af of hij ook een driehoek kan vullen. Zowiezo zou ik graag willen weten of er een kromme bestaat die een driehoek vult.

gr

amy
Student hbo - donderdag 26 mei 2005

Antwoord

Dag Amy,

De Hilbertkromme zelf vult het eenheidsvierkant en dus niet een driehoek. Maar vermits vierkant en driehoek topologisch equivalent zijn (dit wil zeggen: je kan een vierkant continu omvormen tot een driehoek), zal je de Hilbertkromme zodanig kunnen aanpassen dat ze een driehoek vult.

Doe dit als volgt: beeld elk punt (x,y) van je Hilbertkromme af op het punt (x,xy). Dit is een continue afbeelding, dus het beeld zal nog altijd een continue kromme zijn. En vermits deze afbeelding het eenheidsvierkant afbeeldt op een driehoek (probeer maar eens een paar punten en hun beeld te tekenen), zal het beeld van de Hilbertkromme de door jouw gevraagde driehoekvullende kromme zijn.

In het algemeen zal je op deze manier in elke figuur die topologisch equivalent is met het vierkant (dus elk samenhangend gebied zonder gaten in), een vlakvullende kromme kunnen tekenen.

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 26 mei 2005

Re: Kromme die een vlak vult

©2001-2024 WisFaq