P is een oneven priemdeler en n = x² +1 (geheel)

Ik zit met een probleem:
Ik moet het volgende bewijzen maar ik loop vast.
Zij n een gheel getal van de vorm n = x² +1 en p een oneven priemdeler van n. Bewijs: p $\equiv$ 1 mod 4

zelf ben ik gekomen tot:
n kan niet even zijn, omdat hij anders een even priemdeler p heeft. Om n oneven te krijgen moet x even zijn omdat het kwadraat plus 1 dan oneven is.

Als ik dan naar $\mathbf{Z}$/4$\mathbf{Z}$ kijk, blijft erover dat p $\equiv$ 1 mod 4 of p $\equiv$ 3 mod 4.

Hoe laat ik zien dan alleen p $\equiv$ 1 mod 4 geldt?

Alvast bedankt

Peter
Student universiteit - woensdag 20 april 2005

Antwoord

Dag Peter,

In het gegeven staat: p is een oneven priemdeler van n. Het kan best zijn dat n daarnaast ook nog even priemdelers (2 dus) heeft. Dus n kan best even zijn, en x kan dus oneven zijn. Maar voor het bewijs maakt dat niet veel uit.

Ken je het Legendresymbool? (a/p) is per definitie 1 als a een kwadraat is, modulo p. En per definitie -1 als a geen kwadraat is modulo p.

En ken je dan ook de formule van Euler, die een manier geeft om dit Legendresymbool te berekenen:
(a/p) = a^(p-1)/2 mod p

Als je dit alles gebruikt is het niet moeilijk een bewijs uit het ongerijmde te geven: stel dat er een p bestaat die 3 modulo 4 is, en die een deler is van x²+1. Dus geldt dat x² º -1 modp.

Bereken nu het Legendresymbool (-1/p) met de formule van Euler: hier komt -1 uit (gebruik dat p º 3 mod 4!), zodat je weet dat -1 geen kwadraat is modulo p. Dus de congruentie x² º -1 modp heeft geen oplossingen, en het bewijs is af...

Als het op een andere manier moet (zonder Legendre en Euler) dan reageer je maar.

Groeten,
Christophe.

Christophe
donderdag 21 april 2005

Re: P is een oneven priemdeler en n = x² + 1 (geheel)

©2001-2024 WisFaq