WisFaq!

P is een oneven priemdeler en n = x² +1 (geheel)

Ik zit met een probleem:
Ik moet het volgende bewijzen maar ik loop vast.
Zij n een gheel getal van de vorm n = x² +1 en p een oneven priemdeler van n. Bewijs: p $\equiv$ 1 mod 4

zelf ben ik gekomen tot:
n kan niet even zijn, omdat hij anders een even priemdeler p heeft. Om n oneven te krijgen moet x even zijn omdat het kwadraat plus 1 dan oneven is.

Als ik dan naar $\mathbf{Z}$/4$\mathbf{Z}$ kijk, blijft erover dat p $\equiv$ 1 mod 4 of p $\equiv$ 3 mod 4.

Hoe laat ik zien dan alleen p $\equiv$ 1 mod 4 geldt?

Alvast bedankt

Peter
20-4-2005

Antwoord

Dag Peter,

In het gegeven staat: p is een oneven priemdeler van n. Het kan best zijn dat n daarnaast ook nog even priemdelers (2 dus) heeft. Dus n kan best even zijn, en x kan dus oneven zijn. Maar voor het bewijs maakt dat niet veel uit.

Ken je het Legendresymbool? (a/p) is per definitie 1 als a een kwadraat is, modulo p. En per definitie -1 als a geen kwadraat is modulo p.

En ken je dan ook de formule van Euler, die een manier geeft om dit Legendresymbool te berekenen:
(a/p) = a^(p-1)/2 mod p

Als je dit alles gebruikt is het niet moeilijk een bewijs uit het ongerijmde te geven: stel dat er een p bestaat die 3 modulo 4 is, en die een deler is van x²+1. Dus geldt dat x² º -1 modp.

Bereken nu het Legendresymbool (-1/p) met de formule van Euler: hier komt -1 uit (gebruik dat p º 3 mod 4!), zodat je weet dat -1 geen kwadraat is modulo p. Dus de congruentie x² º -1 modp heeft geen oplossingen, en het bewijs is af...

Als het op een andere manier moet (zonder Legendre en Euler) dan reageer je maar.

Groeten,
Christophe.

Christophe
21-4-2005