Modulus van een som is kleiner dan de som van de moduli
Kunnen jullie mij soms helpen met dit:
Bewijs aan de hand van de goniometrische vorm dat de modulus van een som kleiner is dan de som van de moduli.
Inge
Student hbo - donderdag 6 juni 2002
Antwoord
stel je hebt 2 complexe getallen z1 en z2
In goniometrische vorm zijn deze twee te schrijven als:
z1=r1(cosa + i.sina)
z2=r2(cosb + i.sinb)
te bewijzen dat:
|z1+z2| |z1| + |z2|
welnu,
|z1| = r1
|z2| = r2
|z1+z2| = |r1cosa + r2cosb + i(r1sina + r2sinb)|
=  ((r1cosa + r2cosb)2 + (r1sina + r2sinb)2)
Het wortelteken staat een beetje in de weg, en we kunnen de zaak net zo goed kwadrateren. Dit doet aan het bewijs niet af, om
|z1+z2| |z1| + |z2| aan te tonen, mag je ook
|z1+z2|2(|z1| + |z2|)2 aantonen.
Nu is (|z1|+|z2|)2 = r12 + 2r1r2 + r22
en
(|z1 + z2|)2= r12cos2a + 2r1r2cosacosb + r22cos2b + r12sin2a + 2r1r2sinasinb + r22sin2b
= r12 + r22 + 2r1r2(cosacosb + sinasinb)
= r12 + r22 + 2r1r2cos(a-b)
Nou is 2r1r2cos(a-b) MAXIMAAL gelijk aan 2r1r2 (vanwege de cosinus)
Dus |z1+z2|2(|z1| + |z2|)2
En omdat |z1| en |z2| alsook
|z1 + z2| allen groter dan nul zijn, geldt:
|z1+z2||z1| + |z2|
groeten,
Martijn
mg
donderdag 6 juni 2002
©2001-2024 WisFaq
|