WisFaq!

\require{AMSmath} geprint op vrijdag 22 november 2024

Modulus van een som is kleiner dan de som van de moduli

Kunnen jullie mij soms helpen met dit:
Bewijs aan de hand van de goniometrische vorm dat de modulus van een som kleiner is dan de som van de moduli.

Inge
6-6-2002

Antwoord

stel je hebt 2 complexe getallen z1 en z2
In goniometrische vorm zijn deze twee te schrijven als:

z1=r1(cosa + i.sina)
z2=r2(cosb + i.sinb)

te bewijzen dat:
|z1+z2| |z1| + |z2|

welnu,

|z1| = r1
|z2| = r2
|z1+z2| = |r1cosa + r2cosb + i(r1sina + r2sinb)|
= ((r1cosa + r2cosb)2 + (r1sina + r2sinb)2)

Het wortelteken staat een beetje in de weg, en we kunnen de zaak net zo goed kwadrateren. Dit doet aan het bewijs niet af, om
|z1+z2| |z1| + |z2| aan te tonen, mag je ook
|z1+z2|2(|z1| + |z2|)2 aantonen.

Nu is (|z1|+|z2|)2 = r12 + 2r1r2 + r22
en
(|z1 + z2|)2= r12cos2a + 2r1r2cosacosb + r22cos2b + r12sin2a + 2r1r2sinasinb + r22sin2b
= r12 + r22 + 2r1r2(cosacosb + sinasinb)
= r12 + r22 + 2r1r2cos(a-b)

Nou is 2r1r2cos(a-b) MAXIMAAL gelijk aan 2r1r2 (vanwege de cosinus)

Dus |z1+z2|2(|z1| + |z2|)2
En omdat |z1| en |z2| alsook
|z1 + z2| allen groter dan nul zijn, geldt:

|z1+z2||z1| + |z2|

groeten,
Martijn

mg
6-6-2002

© 2001-2024 WisFaq
WisFaq - de digitale vraagbaak voor het wiskunde onderwijs - http://www.wisfaq.nl

#3569 - Complexegetallen - Student hbo