Bewijs van ongelijkheid over getallen uit een rij die met één beginnen
Hoi wisfaq,
Zij an het aantal getallen in de rij 2,22,...,2n die met het cijfer 1 beginnen. Laat zien dat:
log(2)-(1/n) (an/n)log(2)
Hoe moet ik dit aanpakken?
Liefs
fleur
Student hbo - zondag 27 februari 2005
Antwoord
dag Fleur,
Boeiende vraag!
Ik herschrijf de ongelijkheid door deze te vermenigvuldigen met n:
log(2n) - 1 an log(2n)
Je kunt de ongelijkheid aantonen voor n=1.
Dan met verloopsinductie: neem aan dat de ongelijkheid waar is voor alle waarden  n
Dan moeten we daaruit de juistheid voor n+1 aantonen.
Maak nu onderscheid tussen de volgende situaties:
- 2n+1 begint niet met 1
- 2n+1 begint met 1
In geval 1. geldt:
an+1 = an
log(2n+1) en log(2n) hebben dezelfde afgeronde waarde(waarom?)
dus is aan de ongelijkheid voldaan.
In geval 2. geldt:
an+1 = an + 1
2n+1 heeft precies 1 cijfer meer dan 2n, dus de afgeronde waarde van log(2n+1) is 1 groter dan die van log(2n)
waardoor dus ook aan de ongelijkheid is voldaan.
Hiermee heb je de juistheid aangetoond.
PS. Met dank aan gt:
Het kan ook handig opgelost worden door de ongelijkheid te herschrijven tot
an log(2n) an+1
zodat an juist de naar beneden afgeronde waarde van log(2n) is.
Bedenk dan dat er tussen twee machten van 10 steeds precies een macht van 2 zit die met het cijfer 1 begint.
groet,
maandag 28 februari 2005
©2001-2024 WisFaq
|