WisFaq!

Bewijs van ongelijkheid over getallen uit een rij die met één beginnen

Hoi wisfaq,

Zij a_n het aantal getallen in de rij 2,2²,...,2ⁿ die met het cijfer 1 beginnen. Laat zien dat:

log(2)-(¹/_n)(^a_n/_n)log(2)

Hoe moet ik dit aanpakken?
Liefs

fleur
27-2-2005

Antwoord

dag Fleur,

Boeiende vraag!
Ik herschrijf de ongelijkheid door deze te vermenigvuldigen met n:
log(2ⁿ) - 1 a_n log(2ⁿ)
Je kunt de ongelijkheid aantonen voor n=1.
Dan met verloopsinductie: neem aan dat de ongelijkheid waar is voor alle waarden n
Dan moeten we daaruit de juistheid voor n+1 aantonen.
Maak nu onderscheid tussen de volgende situaties:

1. 2ⁿ⁺¹ begint niet met 1
2. 2ⁿ⁺¹ begint met 1

In geval 1. geldt:
a_n+1 = a_n
log(2ⁿ⁺¹) en log(2ⁿ) hebben dezelfde afgeronde waarde(waarom?)
dus is aan de ongelijkheid voldaan.
In geval 2. geldt:
a_n+1 = a_n + 1
2ⁿ⁺¹ heeft precies 1 cijfer meer dan 2ⁿ, dus de afgeronde waarde van log(2ⁿ⁺¹) is 1 groter dan die van log(2ⁿ)
waardoor dus ook aan de ongelijkheid is voldaan.
Hiermee heb je de juistheid aangetoond.

PS. Met dank aan gt:
Het kan ook handig opgelost worden door de ongelijkheid te herschrijven tot
a_n log(2ⁿ) a_n+1
zodat a_n juist de naar beneden afgeronde waarde van log(2ⁿ) is.
Bedenk dan dat er tussen twee machten van 10 steeds precies een macht van 2 zit die met het cijfer 1 begint.
groet,

Anneke
28-2-2005