Re: Orde van een ondergroep

Dit is een reactie op vraag 34006

Hoi,

Ik begrijp niet goed hoe je lemma 2.8 gebruikt, en hoe je uit de gegevens boven "Conclusie: om H..." concludeert dat je deze lemma moet gebruiken.

Dus een uitdrukking is van de vorm s^n*t^m en andere dingen kunnen we herschrijven.Had je ook kunnen zeggen: een uitdrukking is van de vorm t^n*s^m en andere dingen kunnen herschreven worden?

Het nagaan dat dit 10 verschillende elementen zijn is een kwestie van uitschrijven of kan dit bewezen worden?

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - woensdag 16 februari 2005

Antwoord

Het lemma zegt dat je voor de ondergroep moet kijken naar alle eindige producten van elementen s, s^-1, t en t^-1. Formeel zijn dit er echter heel veel: je kan denken aan eenvoudige uitdrukkingen als st, maar ook het element st⁴s⁵t^-28s²s³t is een voorbeeld. Om toch aan een eindig aantal uitdrukkingen te geraken, moet je gebruik maken van een aantal eigenschappen. Die kan je afleiden uit:
- De orde van s = 2 dus s² = e en s^-1 = s
- De orde van t = 5 dus t⁵ = e en t^-1 = t⁴
- De commutator sts^-1t^-1 is gelijk aan t³, waaruit volgt dat ts = st⁴

En gebruik makend van deze drie regels kan je dan alles herschrijven naar de voorgestelde vorm, namelijk sⁿt^m waarbij n = 0 of 1 en m = 0,1,2,3 of 4.

Het omgekeerd herschrijven zal ook wel lukken, maar is niet zo eenvoudig af te leiden uit de eigenschap ts = st⁴. Dit komt omdat je geen regel hebt om st te herschrijven, maar enkel om st⁴ te herschrijven.

Het nagaan dat ze alle 10 verschillen, is rekenwerk, maar vanaf dat je er 7 verschillende hebt is het genoeg, want vermits je een deelgroep van A₆ moet uitkomen, zal de orde een deler zijn van 60 en als die minstens 7 moet zijn, moet die dus 10 zijn...

Groeten,
Christophe.

Christophe
woensdag 16 februari 2005

©2001-2024 WisFaq