Orde van een ondergroep

Hallo wisfaq,

Definieer s, t in de permutatiegroep S5 door s=(15)(24) en t=(12345).De commutator [s,t]=st(s^-1)(t^-1) is hier gelijk aan [s,t]=(14253), s^-1=(51)(42) en t^-1=(21543).
Nu wil ik graag de orde van de ondergroep H=s,t die bevat is in S5 bepalen maar ik begrijp niet hoe ik dat moet doen en hoe ik de commutator hierbij kan gebruiken.

Groeten,
Viky

viky
Student hbo - maandag 14 februari 2005

Antwoord

Hallo Viky,

Eerst even gebruik makend van de commutator:
H wordt enkel voortgebracht door even permutaties s en t, dus zal H al zeker een deel van A₅ zijn.

Je merkt meteen dat s orde 2 heeft en t orde 5. Bovendien is de commutator gelijk aan t³.

En er geldt ook dat sts^-1t^-1=t³
Dus (links en rechts maal t): tsts^-1=e
Dus tst=s en ook ts=st⁴ (want doe rechts maal t⁴)

Conclusie: om H te bepalen moeten we wegens lemma 2.8 p23 (ja ik heb je cursus online gevonden ) enkel kijken naar eindige producten van s,t,s^-1 en t^-1. Maar als we zo een uitdrukking hebben, kunnen we elke s^-1 vervangen door s, en elke t^-1 door t⁴. We houden nu enkel uitdrukkingen over met positieve machten van s en t, s heeft exponent max 1 en t heeft exponent max 4. Daarnet ook afgeleid: ts=st⁴. Dus telkens we een ts zien, kunnen we dat vervangen door st⁴. Dit alles zorgt ervoor dat al onze uitdrukkingen enkel eerst een aantal s'en bevat (max 1) en dan een aantal t's (max 4). Want alle andere dingen hebben we kunnen herschrijven naar zo een standaarduitdrukking. We hebben dus over:
e, t, t², t³, t⁴, s, st, st², st³, st⁴.
Ga nu nog na dat dit werkelijk tien verschillende elementen zijn, en je bent er.

Je komt de dihedrale groep D₅ uit (zie bv p62).

Andere benadering: als je S₅ opvat als de permutaties van hoekpunten van een regelmatige vijfhoek, dan had je ook kunnen zien dat s de spiegeling is over de bissectrice in het punt 3, en dat t een rotatie over 72 graden voorstelt. Als je het op die manier voorstelt is het vrij eenvoudig om in te zien dat H slechts 10 elementen zal tellen.

PS als je oef 33 ook wil doen, kijk dan eerst naar oef 54

Groeten,
Christophe.

Christophe
dinsdag 15 februari 2005

Re: Orde van een ondergroep

©2001-2024 WisFaq